Pascalin kolmio ja Fibonaccin lukujono

Pascalin kolmio ja Fibonaccin lukujono

Päivitetty 23.6.2020

Blaise Pascalin (1623 - 1662) nimeä kantaa Pascalin kolmio. Kolmio tunnettiin jo hänen aikaansa ennen, mutta Pascal otti kolmion moninaisissa käyttötarkoituksissa tositoimiin.

Kolmio antaa binomille (a + b)kertoimet.

Ohessa osa kolmiota:


Binomille (a + b)saisimme ohessa olevasta kolmiosta kertoimet

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Eli kolmannen oasteen binomille löytyy siis kolmiosta kertoimet 1, 3, 3, 1.

Ei tästä sen enempää, haluan tuoda tykö vinhan ehkä vähemmän tunnetun Pascalin kolmion ominaisuuden: Sen, kuinka se liittyy Fibonaccin lukujonoon.

Ohessa kuva:

Kun lähdemme kipuamaan huipusta kolmiota alas ja reunalta jälleen ylös päin, saamme Fibonaccin lukujonon, summaamalla luvut yhteen siten, että seuraava summattava löytyy viistosti seuraavalta riviltä, jos sellainen on. Tällä tavoin löytyy Pascalin kolmiosta tämä vinha yksityiskohta, Fibonaccin lukujono.

Huomautettakoon kuvassa näkyvästä Fibonaccin lukujonosta 1, 1, 2, 3, 5, 8 että seuraava luku on siis 13 ja sekin siis tulee tuosta kolmiosta. Kuvassa ei näy ensimmäistä yhteenlaskettavaa ykköstä, mutta jos sen sinne kuvittelee, niin saamme 1 + 5 + 6 + 1 = 13.