Tekstit

Näytetään blogitekstit, joiden ajankohta on syyskuu, 2018.

Zenonin liikettä koskeva paradoksi ja raja-arvo

Kuva
Zenonin liikettä koskeva paradoksi ja raja-arvo Palaan aiempaan Mitä tiedmme äärettömästä?- kirjaan perustuvaan Zenon ja liikkeen mahdottomuus-aiheeseen. Kirjoitus perustuu jälleen kirjaan Mitä tiedämme äärettömästä? Oletetaan, että Akhilleus starttaa pisteestä P 0 ja kilpikonna pisteestä P 1 . Kun Akhilleus on päässyt pisteeseen P 1 , niin kilpikonna on pisteessä P 2 . Kilpikonna säilyttää aina yhden pisteen etumatkan. Yleisesti: Kun Akhilleus on päässyt pisteeseen P n , niin kilpikonna on pisteessä P n +1 . Näin matemaattisessa todellisuudessa Akhilleus ei saa koskaan kilpikonnaa kiinni. Etäisyyksien näkökulmasta Akhilleus kohtaa etäisyydet P 0 P 1 , P 0 P 2 , yleisesti etäisyyksien joukko on { P 0 , P n }. Vastaavasti kilpikonnan etäisyykisen joukko on yleisesti { P 1 , P n +1 }. Koska kilpajuoksussa Akhilleus ja kilpikonna suorittavat omat etäisyytensä lähtökohdasta lukien samanaikaisesti, he suorittavat ensin ensimmäiset etäisyytensä, sitten toi

Ratkaisu elokuun probleemaan

Kuva
Ratkaisu elokuun probleemaan sekä uusi "probleema" Elokuun pikku probleeman voi halutessaan kerrata, jotta näkee tarkemmin, mitä tässä kirjoituksessa itseasiassa ratkaistaan. Haettu otosavaruus on neliön ala, merkitään tätä A1:llä. Suotuisat tapaukset ovat neliön ala miinus ympyröiden ala. Merkitään ympyröiden yhteispinta-alaa A2:lla. Yhden ympyrän halkaisija on puolet neliön sivun pituudesta, joten yhden ympyrän säde r = 1/4 n . Ympyröiden kokonaispinta-ala on siis nyt 4(л  n 2 / 16) = 1/4(л  n 2 ), tätä siis merkitsemme A2:lla. Kysytty todennäköisyys on (A1 - A2) / A1 = ... = 1 - л/4. Likiarvo 0.21. Esittämäni probleemat eivät ole kovin kummoisia olleet... Laitetaanpa seuraavaksi probleemaksi vaikkapa tällainen hauska, helppo probleema: Olkoon meillä r -säteinen ympyrä, joka pyörii paikallaan ja kiinteä piste sen kehällä samalla. Montako kierrosta ympyrän on täsmälleen pyörittävä, että kehällä oleva piste on kulkenut täsmälleen 5 r -säteisen y