Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan johtaminen

Toisen asteen yhtälön yleisen ratkaisukaavan johtaminen derivaatan avulla


Päivitetty 3.2.2020

Toisen asteen yhtälön yleinen muoto on

ax2 + bx + c = 0

Siltä varalta, että unohtaa ratkaisukaavan on hyvä oppia kuinka helppoa yleisen ratkaisukaavan johtaminen on.

Vakio c vain siirtää käyrää xy-tasossa pystysuunnassa.

Tarvitsemme siis johtamiseen yleisen tapauksen derivaattaa, mikä on 2ax + b = 0.

Katsotaanpa paraabelien xja -x2 kuvaajia:



Huomaamme, että y-akselilla paraabeleilla on tuplajuuri. Samassa kohdassa selvästi käyrien derivaatta on nolla.

Koska kaavan johtamisessa käytetään derivaattaa, on sen ymmärtäminen olennaista koko asian ymmärtämisessä. Tarkastellaan vielä graafia, jossa on paraabeli x - 2ja sen derivaatan 2x - 2 kuvaajat:



Paraabelin derivaatan nollakohta on kohdassa = 1. Paraabelin nollakohdat ovat kohdissa = 0 ja = 2.

Tästä nähdään erinomaisesti paraabelin nollakohtien ja sen derivaatan nollakohdan välillä vallitseva symmetria.

Miten siis saisimme derivaattaa käyttämällä johdettua toisen asteen yhtälön yleisen ratkaisukaavan? Aloitetaan ratkaisemalla symmetriapiste. Merkitään 2ax + b = 0 ja ratkaistaan x. Ratkaisuksi saamme

  x = -b / 2a

Tämä edustaa siis yleisen toisen asteen käyrän symmetriakohtaa; kun lisäämme ja vähennämme tästä symmetriakohdasta jonkin vakion D, olemme löytäneet yleisen toisen asteen käyrän nollakohdat. On vain selvitettävä, mikä tämä vakio D on.

Eräs juuri toisen asteen yhtälölle siis on x = -b / 2a + D. Sijoitetaan tämä juuri toisen asteen yhtälön yleiseen muotoon axbx + = 0. Saamme:

a(-b / 2a + D)2 + b(-b / 2a + D) + c = 0

Hieman auki kirjoitettuna saamme seuraavaa:


Ratkaistaan tästä D, niin tiedämme, mikä vakio D lisättynä ja vähennettynä symmetriakohdasta langettaa toisen asteen yhtälön nollaksi:



Lisäämme ja vähennämme saadun D:n siis symmetriakohdasta x = -b / 2a:


Nyt olemme päätyneet tuttuun toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan.

Homman idea lienee varsin selvä.