Filosofis-arkisesti matemaattisesta aihepiiristä

Mobiiliystävällisempi jatkokehitelty oma fraktaali Ohessa mobiiliystävällisempi versio omasta fraktaalista jonkinlaisella värityksellä JavaScript-toteutuksena: Iteraatiot - Iteraatiot + Max. iteraatioiden määrä on tällä hetkellä rajoitettu seitsemään (7). Pitää koittaa palata vielä paremmin aiheeseen.

Luvut etäisyyksinä - ja koko lukuteoria on geometriaa Muokattu 7.4.2019 Tarkastellaan lukuja etäisyyksinä ystävästämme nollasta. 0 = |0 - 0| 1 = |0 - 1| 2 = |0 - 2| ... n  = |0 - n | Kunkin etäisyyden voi jakaa osiin, ajatellaan tätä vaikkapa tutun joukon R  tapauksessa. Esimerkiksi etäisyyden nollasta kahteen voi jakaa n :ään osaan, saamme etäisyydet 2 / n  nollan ja kahden välille. Piste josta aloitimme, tässä nolla, ei ole etäisyys vaan -- kuten sanottua -- piste, sitä ei voi jakaa pienempiin osiin. Filosofis-geometrisesti piste on geometrian jakamaton, "atomos", Demokritoksen ajatusta soveltaen. Kirjassa "The way to geometry" sanotaan: "The magnitude of a point is zero". Kun perustamme luvut etäisyyksinä suhteessa nollaan, nollapiste on jakamaton piste; koska kyseessä ei ole etäisyys vaan piste, jakamalla nolla (tässä piste), millä luvulla hyvänsä saamme saman nollan, siis nolla ei pienene jakamalla. Nollalla itsellään

Käsitykseni nollasta tähän saakka Pääpointti on, että näen nollan neutraalina lukuna. Mitä se tarkoittaa? Nolla ei ole pariton tai parillinen Nolla ei ole negatiivinen tai positiivinen Nollalla ei ole numeerista vastakohtaa Elokuvapätkän merkitys... "..achievements: Zero." Nolla lienee itsellänikin suurin saavutus. :-) Semanttisesti nolla merkitsee lukumääränä ei yhtään – eri asia kuin ei mitään. Nolla kumoaa luvun 1 neutraalialkioisuuden kertolaskussa: 1 * a = a , sillä jos a = 0, primäärisesti luku 1 ei säilytä nollan identiteettiä, vaan nolla ”nollaa” ykkösen. Siis nolla omalla kohdallaan kumoaa luvun 1 neutraalialkioisuuden kertolaskun yhteydessä. Tarkastellaan vielä nollan parittomuutta ja parillisuutta etäisyyksien näkökulmasta: Luvun 2 etäisyys nollasta Mod 2 = |0 - 2| Mod 2 = 0, modulon ollessa 0, jako menee 2:lla tasan, siis luku 2 on parillinen. Luvun 3 etäisyys nollasta Mod 2 = |0 - 3| Mod 2 = 1, modulon ollessa 1, ja

Jatkokehitelty oma fraktaali Korostan edelleen, että tällainen voi jo olla keksitty, itse en ole vastaava nähnyt. Fraktaalin sääntöjä voi kerrata edellisestä postauksesta (tässä hieman lisätty, palaan vielä asiaan), tässä vielä tänä yönä väsäämäni JavaScript-viritelmä, jolla fraktaalia voi säädellä. Ohjeet samat kuin aiemmin: Näppäin 1: Vähentää iteraatioita Näppäin 2: Lisää iteraatioita Fraktaalin parempi graafinen tarkastelu vaatisi isomman resoluution. Ohessa vielä JavaScriptillä kikkailtu kuva tästä fraktaalista: Lienee aika nukkua hyvät unet ja palata aamulla ihmettelemään, mitä sitä yöllä on taas saanut aikaan... Lopuksi vielä kaksi värillistä kuvaa fraktaalista: Toivottavasti viimeistään syyskuussa kerkeän miettiä aihetta enemmän...

Oma fraktaali - tai sitten tietämättäni tällainen on jo keksitty.. Tänä yönä sain yllättäen idean omasta fraktaalista -- en ole nähnyt vastaava koskaan missään. Kuitenkin tällainen voi olla jo keksitty. Jos ei ole, olkoon tämä "Markuksen ympyrät". Idea: Piirretään r -säteinen ympyrä Piirretään ympyrän sisälle ympyrä, jonka säde = r / 2 Piirretään ympyrät  r / 2 -säteisen ympyrän ylä- ja alapuolelle sekä vasemmalle että oikealle puolelle, näiden ympyröiden säde = r / 4 Valitaan uudeksi ympyräksi ympyrä, jonka säde on alkuperäisestä puolet ja jatketaan näin ad infinitum... Ohessa JavaScriptillä toteutettu ohjelma, jolla iteraatioita voi lisätä ja vähentää. Ensimmäinen näkymä on aloitustila, mikä on kuvailtu yllä. Ohjeet: Näppäin 1: Vähentää iteraatioita Näppäin 2: Lisää iteraatioita Kuten sanottua, tällainen voi olla jo keksitty; ellei ole, tällä lienee ainakin kuriositeettiarvoa. Taidanpa vielä jatkokehitellä tätä...

Kevyt geometrinen todennäköisyysprobleema Lupasin heinäkuun postauksessa esittää ratkaisun siinä esitettyyn probleemaan sekä esittää uuden kyseistä probleemaa sivuavan probleeman. Uusi probleema ei paljoa eroa loppujen lopuksi edellisestä ja on ehkä hieman hassu. Probleema: On annettu neliö, jonka sivun pituus on n . Neliössä on neljä mahdollisimman suurta samankokoista ympyrää. Tulkitaan nyt neliö levyksi ja ympyrät reiksi levyssä. Levylle tiputetaan pistemäisiä kappaleita. Millä todennäköisyydellä pistemäinen kappale osuu levyyn eikä reikään? Ohessa kuva: Esitän myöhemmin ratkaisun tähän probleemaan ja koetan keksiä parempaa kuin tämä. * * * Ratkaisu heinäkuun postauksen probleemaan: Kysytty pinta-ala on neliön sisään piirretyn ympyrän ala vähennettynä ympyrän sisällä olevan neliön alasta. Neliön sisään piirretyn ympyrän säde on n / 2. Nyt ympyrän ala on  π ( n 2 / 4). Neliön sisään piirretyn neliön sivun pituus saadaan Pythagoraan l

Toisen asteen yhtälön yleisen ratkaisukaavan johtaminen derivaatan avulla Päivitetty 3.2.2020 Toisen asteen yhtälön yleinen muoto on ax 2 + bx + c = 0 Siltä varalta, että unohtaa ratkaisukaavan on hyvä oppia kuinka helppoa yleisen ratkaisukaavan johtaminen on. Vakio c vain siirtää käyrää  xy -tasossa pystysuunnassa. Tarvitsemme siis johtamiseen yleisen tapauksen derivaattaa, mikä on  2 ax + b = 0 . Katsotaanpa paraabelien  x 2  ja - x 2   kuvaajia: Huomaamme, että y-akselilla paraabeleilla on tuplajuuri. Samassa kohdassa selvästi käyrien derivaatta on nolla. Koska kaavan johtamisessa käytetään derivaattaa, on sen ymmärtäminen olennaista koko asian ymmärtämisessä. Tarkastellaan vielä graafia, jossa on paraabeli  x 2   - 2 x  ja sen derivaatan 2 x  - 2 kuvaajat: Paraabelin derivaatan nollakohta on kohdassa  x  = 1. Paraabelin nollakohdat ovat kohdissa  x  = 0 ja  x  = 2. Tästä nähdään erinomaisesti paraabelin nollakohtien ja