Tekstit

Näytetään blogitekstit, joiden ajankohta on heinäkuu, 2018.

Kevyt geometrinen probleema

Kuva
Kevyt geometrinen probleema Päätin vaihteeksi esittää kevyen geometrisen probleeman. Vaikeustasoltaan se sopii ehkä matematiikan lukion lyhyen ja pitkän oppimäärän tasolle riippuen asiaan vihkiytyneisyydestä. Probleemassa on määrä määrittää oheisesta kuviosta kellertävästä alueesta neljän kaareutuvan alueen yhteispinta-ala, kun kokonaisalueen neliön sivun pituus on n . Kellertävä alue itsessään esittää neliön sisään piirrettyä ympyrää, jonka kehä sivuaa neljässä suunnassa neliön sivua. Tehtävä ratkennee helposti tämän vanhan blogipostaukseni pohjalta. Tuo vanha blogipostaukseni oikeastaan valaisee erityisesti tämän tehtävän kanssa yhdessä, mistä tämän kaltaisissa tehtävissä ylipäätään on kysymys. Koetan keksiä elokuuksi jotenkin asiaa sivuavan postauksen, jonka yhteydessä esitän ratkaisun tehtävään.

Tarvitaanko uusi "joukko"?

Kuva
Tarvitaanko tyhjää joukkoakin "tyhjempi joukko"? Eräässä vanhassa postauksessani kirjoitin: ”Tyhjyyden voi luoda, seikkaa ei-mitään ei voi luoda; siitä luominen alkaa.” Tässä kirjoituksessa  esitellään idea tyhjää joukkoakin "tyhjemmästä joukosta" -- siitä luominen alkaa. Jos otamme kirjaimellisesti – ja niin on mielekästä tehdä – semanttisen tyhjä joukko-nimityksen, tyhjä joukko ei edusta seikkaa ei-mitään, vaan tyhjyyttä. Tästä pääsemmekin tämän postauksen asiaan: Tarvitaanko tyhjää joukkoakin olemattomampi joukko -- täydellisyyden vuoksi? Runollisesti sanoen (viittaan kirjoituksen alkuun) tästä olemattomasta joukosta olisi saanut alkunsa tyhjä joukko. Selvästi olen jotenkin aiemmissa kirjoituksissani tyypillisesti ajatellut tyhjää joukkoa tällaisena joukkona (joukkona joka edustaisi "kaiken matemaattisen" alkuperää) – kirjaimellisesti joukkona ei-mistään, mikä tämän kirjoituksen mukaan itseasiassa ei olisikaan tyhjä joukko. Nimensä m

Onko tyhjä joukko olemassa?

Kuva
Onko tyhjä joukko olemassa? Päivitetty 2.5.2019 Tyhjä joukko on joukko, jossa ei ole yhtään alkiota. Se on ”kokoelma” tyhjästä – onko se siis todella kokoelma? Siitä kirjoitin edellisessä postauksessa. Olen alkanut näkemään jotain mieltä kysymyksessä ”onko tyhjä joukko olemassa”. (Lukijalle huomautettakoon, että tämä pohdinta on omintakeista huumoriani) Pohditaan seikkaa, mikä on vastakohtaista tyhjälle, joukko-opin merkityksessä. Tyhjä joukko on kokoelma tyhjästä. Vastakohtaisena tälle voisi – toisaalta ei voi – nähdä kaikkien joukkojen joukkoa. Miksi kaikkien joukkojen joukko ei ehkä voi olla vastakohtaista tyhjälle joukolle? Jos tyhjä joukko on olemassa samassa merkityksessä kuin ei-tyhjät joukot, tyhjä joukko sisältyisi kaikkien joukkojen joukkoon, jolloin kaikkien joukkojen joukkko ei voisi olla vastakohtaista tyhjälle joukolle. (Ja näin siis on) Jos tyhjä joukko ei ole samssa mielessä olevainen kuin ei-tyhjät joukot, voitaisiin nähdä joukko-opin näkökulmas