Tekstit

Näytetään blogitekstit, joiden ajankohta on 2018.

Värillinen pythagoralainen puu

Värillinen pythagoralainen puu Tulevan joulun kunniaksi päätin julkaista jotain hauskaa. Kyseessä on värillinen pythagoralainen puu, jossa on symmetriaa hieman rikottu. Symmetrisessa tapauksessa on siis ideana aloittaa yhdestä suorakulmaisesta kolmiosta, mikä visuaalisesti ottaen makaa hypotenuusallaan. Kolmiossa on kaksi 45 asteen kulmaa ja yksi 90 asteen kulma. Jokaista sivua vasten piirretään neliö, neliön sivuun pituus kolmion sivun pituus. Puu haarautuu 45 asteen sivuja vasten piirrettyjen neliöiden myötä. Toteutuksessa kolmioita ei piirretä, vain neliöt. Ohessa JavaScript-viritelmä: Iteraatiot - Iteraatiot + Toivottavasti tämän parissa joulua on mukava odotella.

Pascalin kolmio ja Fibonaccin lukujono

Kuva
Pascalin kolmio ja Fibonaccin lukujono Päivitetty 23.6.2020 Blaise Pascalin (1623 - 1662) nimeä kantaa Pascalin kolmio. Kolmio tunnettiin jo hänen aikaansa ennen, mutta Pascal otti kolmion moninaisissa käyttötarkoituksissa tositoimiin. Kolmio antaa binomille ( a + b ) n  kertoimet. Ohessa osa kolmiota: Binomille ( a + b ) 3  saisimme ohessa olevasta kolmiosta kertoimet a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 Eli kolmannen oasteen binomille löytyy siis kolmiosta kertoimet 1, 3, 3, 1. Ei tästä sen enempää, haluan tuoda tykö vinhan ehkä vähemmän tunnetun Pascalin kolmion ominaisuuden: Sen, kuinka se liittyy Fibonaccin lukujonoon. Ohessa kuva: Kun lähdemme kipuamaan huipusta kolmiota alas ja reunalta jälleen ylös päin, saamme Fibonaccin lukujonon, summaamalla luvut yhteen siten, että seuraava summattava löytyy viistosti seuraavalta riviltä, jos sellainen on. Tällä tavoin löytyy Pascalin kolmiosta tämä vinha yksityiskohta, Fibonaccin lukujono. Huomautet

Runo kakkosesta

Kuva
Runo kakkosesta Kaks osoittaa parillisuuden; kaikkialla minne se sopii tasamäärän, se olemassa on; ja niin on se parillinen, minne kaks tasan sopii. Niin monta on kakkosta tasan luvussa, kuin luku suhteessa kahteen tasan olla voi; jos niin vaan voi. Sillä jollei voi, luku parillinen olla ei voi.

Runo

Runo nollasta Kahdeksaan käy kaks neljä kertaa; Kuuteen se pujahtaa kolme kertaa; Neljään se sopii kahdesti; Nollaan se ei sovi yhtään kertaa; ei yhtään paria siinä ole. Ei yhtään jälkeä kahdesta. Missä on parini? Kysyy nolla lakonisesti.

Paremmin kirjoitettuna eräs vanha nollaa koskeva postaukseni

Kuva
Paremmin kirjoitettuna eräs vanha nollaa koskeva postaukseni Jakolasku on käänteinen toimenpide kertolaskulle. Kertolaskussa nolla ”nollaa”, minkä hyvänsä luvun: 0 * a = 0, olipa a mikä hyvänsä reaaliluku. Tämä nollaaminen poistaa kerrottavalta luvulta koko identiteettinsä, tuloksena pelkkä 0. Esim. kertolaskussa 1 on neutraalialkio: 1 * a = a , olipa a , mikä hyvänsä luku eli luku 1 säilyttää luvun identiteetin. Näkemykseni tapauksesta 1 * 0 = 0: Luku 1 ei säilytä primäärisesti nollan identiteettiä, vaan nolla säilyttää omansa ja riistää luvulta 1 sen identiteetin (kertolasku on vaihdannainen: 1 * 0 = 0 * 1). Vastaavasti tapauksessa 0 * 2 = 2 * 0, luku nolla riistää luvulta 2 koko sen identiteetiin, mukaan lukien parillisuuden. Luvulla 0 ei ole yksikäsitteistä rationaali-ilmaisua, niitä on itseasiassa äärettömän monta, jotka ovat muotoa: Supistettuna luvulla 2 on yksikäsitteinen rationaali-ilmaisu: Lasku 0 / 2 toisinilmaistuna on Eli saamme: Koska no

Zenonin liikettä koskeva paradoksi ja raja-arvo

Kuva
Zenonin liikettä koskeva paradoksi ja raja-arvo Palaan aiempaan Mitä tiedmme äärettömästä?- kirjaan perustuvaan Zenon ja liikkeen mahdottomuus-aiheeseen. Kirjoitus perustuu jälleen kirjaan Mitä tiedämme äärettömästä? Oletetaan, että Akhilleus starttaa pisteestä P 0 ja kilpikonna pisteestä P 1 . Kun Akhilleus on päässyt pisteeseen P 1 , niin kilpikonna on pisteessä P 2 . Kilpikonna säilyttää aina yhden pisteen etumatkan. Yleisesti: Kun Akhilleus on päässyt pisteeseen P n , niin kilpikonna on pisteessä P n +1 . Näin matemaattisessa todellisuudessa Akhilleus ei saa koskaan kilpikonnaa kiinni. Etäisyyksien näkökulmasta Akhilleus kohtaa etäisyydet P 0 P 1 , P 0 P 2 , yleisesti etäisyyksien joukko on { P 0 , P n }. Vastaavasti kilpikonnan etäisyykisen joukko on yleisesti { P 1 , P n +1 }. Koska kilpajuoksussa Akhilleus ja kilpikonna suorittavat omat etäisyytensä lähtökohdasta lukien samanaikaisesti, he suorittavat ensin ensimmäiset etäisyytensä, sitten toi

Ratkaisu elokuun probleemaan

Kuva
Ratkaisu elokuun probleemaan sekä uusi "probleema" Elokuun pikku probleeman voi halutessaan kerrata, jotta näkee tarkemmin, mitä tässä kirjoituksessa itseasiassa ratkaistaan. Haettu otosavaruus on neliön ala, merkitään tätä A1:llä. Suotuisat tapaukset ovat neliön ala miinus ympyröiden ala. Merkitään ympyröiden yhteispinta-alaa A2:lla. Yhden ympyrän halkaisija on puolet neliön sivun pituudesta, joten yhden ympyrän säde r = 1/4 n . Ympyröiden kokonaispinta-ala on siis nyt 4(л  n 2 / 16) = 1/4(л  n 2 ), tätä siis merkitsemme A2:lla. Kysytty todennäköisyys on (A1 - A2) / A1 = ... = 1 - л/4. Likiarvo 0.21. Esittämäni probleemat eivät ole kovin kummoisia olleet... Laitetaanpa seuraavaksi probleemaksi vaikkapa tällainen hauska, helppo probleema: Olkoon meillä r -säteinen ympyrä, joka pyörii paikallaan ja kiinteä piste sen kehällä samalla. Montako kierrosta ympyrän on täsmälleen pyörittävä, että kehällä oleva piste on kulkenut täsmälleen 5 r -säteisen y

Mobiiliystävällisempi oma fraktaali

Mobiiliystävällisempi jatkokehitelty oma fraktaali Ohessa mobiiliystävällisempi versio omasta fraktaalista jonkinlaisella värityksellä JavaScript-toteutuksena: Iteraatiot - Iteraatiot + Max. iteraatioiden määrä on tällä hetkellä rajoitettu seitsemään (7). Pitää koittaa palata vielä paremmin aiheeseen.

Luvut etäisyyksinä

Kuva
Luvut etäisyyksinä - ja koko lukuteoria on geometriaa Muokattu 7.4.2019 Tarkastellaan lukuja etäisyyksinä ystävästämme nollasta. 0 = |0 - 0| 1 = |0 - 1| 2 = |0 - 2| ... n  = |0 - n | Kunkin etäisyyden voi jakaa osiin, ajatellaan tätä vaikkapa tutun joukon R  tapauksessa. Esimerkiksi etäisyyden nollasta kahteen voi jakaa n :ään osaan, saamme etäisyydet 2 / n  nollan ja kahden välille. Piste josta aloitimme, tässä nolla, ei ole etäisyys vaan -- kuten sanottua -- piste, sitä ei voi jakaa pienempiin osiin. Filosofis-geometrisesti piste on geometrian jakamaton, "atomos", Demokritoksen ajatusta soveltaen. Kirjassa "The way to geometry" sanotaan: "The magnitude of a point is zero". Kun perustamme luvut etäisyyksinä suhteessa nollaan, nollapiste on jakamaton piste; koska kyseessä ei ole etäisyys vaan piste, jakamalla nolla (tässä piste), millä luvulla hyvänsä saamme saman nollan, siis nolla ei pienene jakamalla. Nollalla itsellään

Näkemykseni nollasta tähän saakka

Kuva
Käsitykseni nollasta tähän saakka Pääpointti on, että näen nollan neutraalina lukuna. Mitä se tarkoittaa? Nolla ei ole pariton tai parillinen Nolla ei ole negatiivinen tai positiivinen Nollalla ei ole numeerista vastakohtaa Elokuvapätkän merkitys... "..achievements: Zero." Nolla lienee itsellänikin suurin saavutus. :-) Semanttisesti nolla merkitsee lukumääränä ei yhtään – eri asia kuin ei mitään. Nolla kumoaa luvun 1 neutraalialkioisuuden kertolaskussa: 1 * a = a , sillä jos a = 0, primäärisesti luku 1 ei säilytä nollan identiteettiä, vaan nolla ”nollaa” ykkösen. Siis nolla omalla kohdallaan kumoaa luvun 1 neutraalialkioisuuden kertolaskun yhteydessä. Tarkastellaan vielä nollan parittomuutta ja parillisuutta etäisyyksien näkökulmasta: Luvun 2 etäisyys nollasta Mod 2 = |0 - 2| Mod 2 = 0, modulon ollessa 0, jako menee 2:lla tasan, siis luku 2 on parillinen. Luvun 3 etäisyys nollasta Mod 2 = |0 - 3| Mod 2 = 1, modulon ollessa 1, ja

Jatkokehitelty oma fraktaali

Kuva
Jatkokehitelty oma fraktaali Korostan edelleen, että tällainen voi jo olla keksitty, itse en ole vastaava nähnyt. Fraktaalin sääntöjä voi kerrata edellisestä postauksesta (tässä hieman lisätty, palaan vielä asiaan), tässä vielä tänä yönä väsäämäni JavaScript-viritelmä, jolla fraktaalia voi säädellä. Ohjeet samat kuin aiemmin: Näppäin 1: Vähentää iteraatioita Näppäin 2: Lisää iteraatioita Fraktaalin parempi graafinen tarkastelu vaatisi isomman resoluution. Ohessa vielä JavaScriptillä kikkailtu kuva tästä fraktaalista: Lienee aika nukkua hyvät unet ja palata aamulla ihmettelemään, mitä sitä yöllä on taas saanut aikaan... Lopuksi vielä kaksi värillistä kuvaa fraktaalista: Toivottavasti viimeistään syyskuussa kerkeän miettiä aihetta enemmän...

Oma fraktaali

Oma fraktaali - tai sitten tietämättäni tällainen on jo keksitty.. Tänä yönä sain yllättäen idean omasta fraktaalista -- en ole nähnyt vastaava koskaan missään. Kuitenkin tällainen voi olla jo keksitty. Jos ei ole, olkoon tämä "Markuksen ympyrät". Idea: Piirretään r -säteinen ympyrä Piirretään ympyrän sisälle ympyrä, jonka säde = r / 2 Piirretään ympyrät  r / 2 -säteisen ympyrän ylä- ja alapuolelle sekä vasemmalle että oikealle puolelle, näiden ympyröiden säde = r / 4 Valitaan uudeksi ympyräksi ympyrä, jonka säde on alkuperäisestä puolet ja jatketaan näin ad infinitum... Ohessa JavaScriptillä toteutettu ohjelma, jolla iteraatioita voi lisätä ja vähentää. Ensimmäinen näkymä on aloitustila, mikä on kuvailtu yllä. Ohjeet: Näppäin 1: Vähentää iteraatioita Näppäin 2: Lisää iteraatioita Kuten sanottua, tällainen voi olla jo keksitty; ellei ole, tällä lienee ainakin kuriositeettiarvoa. Taidanpa vielä jatkokehitellä tätä...

Geometrinen todennäköisyysprobleema

Kuva
Kevyt geometrinen todennäköisyysprobleema Lupasin heinäkuun postauksessa esittää ratkaisun siinä esitettyyn probleemaan sekä esittää uuden kyseistä probleemaa sivuavan probleeman. Uusi probleema ei paljoa eroa loppujen lopuksi edellisestä ja on ehkä hieman hassu. Probleema: On annettu neliö, jonka sivun pituus on n . Neliössä on neljä mahdollisimman suurta samankokoista ympyrää. Tulkitaan nyt neliö levyksi ja ympyrät reiksi levyssä. Levylle tiputetaan pistemäisiä kappaleita. Millä todennäköisyydellä pistemäinen kappale osuu levyyn eikä reikään? Ohessa kuva: Esitän myöhemmin ratkaisun tähän probleemaan ja koetan keksiä parempaa kuin tämä. * * * Ratkaisu heinäkuun postauksen probleemaan: Kysytty pinta-ala on neliön sisään piirretyn ympyrän ala vähennettynä ympyrän sisällä olevan neliön alasta. Neliön sisään piirretyn ympyrän säde on n / 2. Nyt ympyrän ala on  π ( n 2 / 4). Neliön sisään piirretyn neliön sivun pituus saadaan Pythagoraan l

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan johtaminen

Kuva
Toisen asteen yhtälön yleisen ratkaisukaavan johtaminen derivaatan avulla Päivitetty 3.2.2020 Toisen asteen yhtälön yleinen muoto on ax 2 + bx + c = 0 Siltä varalta, että unohtaa ratkaisukaavan on hyvä oppia kuinka helppoa yleisen ratkaisukaavan johtaminen on. Vakio c vain siirtää käyrää  xy -tasossa pystysuunnassa. Tarvitsemme siis johtamiseen yleisen tapauksen derivaattaa, mikä on  2 ax + b = 0 . Katsotaanpa paraabelien  x 2  ja - x 2   kuvaajia: Huomaamme, että y-akselilla paraabeleilla on tuplajuuri. Samassa kohdassa selvästi käyrien derivaatta on nolla. Koska kaavan johtamisessa käytetään derivaattaa, on sen ymmärtäminen olennaista koko asian ymmärtämisessä. Tarkastellaan vielä graafia, jossa on paraabeli  x 2   - 2 x  ja sen derivaatan 2 x  - 2 kuvaajat: Paraabelin derivaatan nollakohta on kohdassa  x  = 1. Paraabelin nollakohdat ovat kohdissa  x  = 0 ja  x  = 2. Tästä nähdään erinomaisesti paraabelin nollakohtien ja

Kevyt geometrinen probleema

Kuva
Kevyt geometrinen probleema Päätin vaihteeksi esittää kevyen geometrisen probleeman. Vaikeustasoltaan se sopii ehkä matematiikan lukion lyhyen ja pitkän oppimäärän tasolle riippuen asiaan vihkiytyneisyydestä. Probleemassa on määrä määrittää oheisesta kuviosta kellertävästä alueesta neljän kaareutuvan alueen yhteispinta-ala, kun kokonaisalueen neliön sivun pituus on n . Kellertävä alue itsessään esittää neliön sisään piirrettyä ympyrää, jonka kehä sivuaa neljässä suunnassa neliön sivua. Tehtävä ratkennee helposti tämän vanhan blogipostaukseni pohjalta. Tuo vanha blogipostaukseni oikeastaan valaisee erityisesti tämän tehtävän kanssa yhdessä, mistä tämän kaltaisissa tehtävissä ylipäätään on kysymys. Koetan keksiä elokuuksi jotenkin asiaa sivuavan postauksen, jonka yhteydessä esitän ratkaisun tehtävään.

Tarvitaanko uusi "joukko"?

Kuva
Tarvitaanko tyhjää joukkoakin "tyhjempi joukko"? Eräässä vanhassa postauksessani kirjoitin: ”Tyhjyyden voi luoda, seikkaa ei-mitään ei voi luoda; siitä luominen alkaa.” Tässä kirjoituksessa  esitellään idea tyhjää joukkoakin "tyhjemmästä joukosta" -- siitä luominen alkaa. Jos otamme kirjaimellisesti – ja niin on mielekästä tehdä – semanttisen tyhjä joukko-nimityksen, tyhjä joukko ei edusta seikkaa ei-mitään, vaan tyhjyyttä. Tästä pääsemmekin tämän postauksen asiaan: Tarvitaanko tyhjää joukkoakin olemattomampi joukko -- täydellisyyden vuoksi? Runollisesti sanoen (viittaan kirjoituksen alkuun) tästä olemattomasta joukosta olisi saanut alkunsa tyhjä joukko. Selvästi olen jotenkin aiemmissa kirjoituksissani tyypillisesti ajatellut tyhjää joukkoa tällaisena joukkona (joukkona joka edustaisi "kaiken matemaattisen" alkuperää) – kirjaimellisesti joukkona ei-mistään, mikä tämän kirjoituksen mukaan itseasiassa ei olisikaan tyhjä joukko. Nimensä m

Onko tyhjä joukko olemassa?

Kuva
Onko tyhjä joukko olemassa? Päivitetty 2.5.2019 Tyhjä joukko on joukko, jossa ei ole yhtään alkiota. Se on ”kokoelma” tyhjästä – onko se siis todella kokoelma? Siitä kirjoitin edellisessä postauksessa. Olen alkanut näkemään jotain mieltä kysymyksessä ”onko tyhjä joukko olemassa”. (Lukijalle huomautettakoon, että tämä pohdinta on omintakeista huumoriani) Pohditaan seikkaa, mikä on vastakohtaista tyhjälle, joukko-opin merkityksessä. Tyhjä joukko on kokoelma tyhjästä. Vastakohtaisena tälle voisi – toisaalta ei voi – nähdä kaikkien joukkojen joukkoa. Miksi kaikkien joukkojen joukko ei ehkä voi olla vastakohtaista tyhjälle joukolle? Jos tyhjä joukko on olemassa samassa merkityksessä kuin ei-tyhjät joukot, tyhjä joukko sisältyisi kaikkien joukkojen joukkoon, jolloin kaikkien joukkojen joukkko ei voisi olla vastakohtaista tyhjälle joukolle. (Ja näin siis on) Jos tyhjä joukko ei ole samssa mielessä olevainen kuin ei-tyhjät joukot, voitaisiin nähdä joukko-opin näkökulmas

Onko tyhjä joukko joukko?

Kuva
Onko tyhjä joukko itsessään joukko? Päivitetty 12.7.2018. Kaksi näkökulmaa kirjakokoelma-metaforaan. Olettakaamme, että henkilöllä on 100 kirjaa. Tuolloin hänellä on 100 kirjan kokoelma. Mutta entäpä jos henkilöllä ei ole kirjoja ollenkaan? Onko hänellä tuolloin kirjakokoelmaa? Ei. Voidaanko siis sanoa, että hänen kirjakokoelmansa on olematon, tyhjä?  Niin voinee sanoa. Mutta entä jos kokoelmaa siis ei ole ja sanotaan, että kokoelma on tuolloin tyhjä kokoelma, niin onko tämä kokoelma, jota ei ole (eli se on "tyhjä kokoelma") itsessään kokoelma? Tästä pääsemme tyhjään joukkoon. Onko tyhjä joukko itsessään joukko? Se ei sisällä mitään, kuinka se siis voi olla kokoelma, tässä joukko. Tyhjä se on, mutta onko se itsessään joukko ? Jos on, niin joukko mistä? Blogiini sopiva teemavideo Voidaanko sanoa, että tyhjä joukko itsessään kaikkoaa matemaattiseen "tyhjyyteen" tyhjänä kokoelmana? Runollisesti ottaen siksi tyhjä joukko on osa jokaista jou

Cantorin joukko rekursiolla

Kuva
Cantorin joukko rekursiolla Eräässä vanhassa kirjoituksessani on Java-metodit Cantorin joukon generoimiseen ilman rekursiota. Siinä ongelma oli laskentatarkkuus ohjelman nojatessa pedanttisesti joukon joukko-opilliseen määrittelyyn. Tässä kirjoituksessa esitettäköön kokonaisuudessaan JavaScriptillä toteuttamani ohjelma, jossa ideana on tarkastella piirrettävien välien muodostamista. Ensimmäinenhän piirretään alkukohdasta kohtaan (viivan pituus) * 1 / 3, keskikohta jätetään piirtämättä sekä nyt toinen piirrettävä viiva alkaa kohdasta (viivan pituus) * 2 / 3, pituuden ollessa se 1 / 3 piirrettävän viivan pituudesta. Näin piirrettäessä laskentatarkkuuden rajat eivät tule heti vastaan. Ohessa kokonainen JavaScript-ohjelma Cantorin joukon piirtämiseen rekursiolla (png-kuvana): Klikkaa kuvaa nähdäksesi se suurempana Vielä kuva ohjelman tulostuksesta: Näinä kesäisinä päivinä ei näemmä jaksa asiaan mitään sen ihmeempää lisätä...

Politiikan kenttä n-uloitteisena "pallona"

Kuva
Voisiko poliittisia suuntauksia kuvata n -ulotteisella ”pallolla”? Puolueiden näkemysten mennessä osin sisäkkäin, erityisesti perinteisessä poliittisessa janassa vasemmiston ja oikeiston osalta, vaikuttaisi mielekkäältä kuvata poliittista ”suuntausta” perinteisen janan sijaan vähintään 3-ulotteisella pallolla puolueiden näkemysten mennessä osin sisäkkäin. Jana on tällaiseen kuvaamiseen riittämätön. Näin myös käsitteet vasemmisto ja oikeisto menettäisivät perinteisessä mielessä lisäksi merkityksensä. 3-ulottuvuutta voi tosin olla riittämätöntä, sillä siltä osin kuinka esim. vasemmiston ja oikeiston näkemykset yhtyvät, ei saisi välttämättä jatkuvaa yhtenäistä 3-ulotteista aluetta. Ulottuvuuksia lisättäessä jatkuva yhtenäinen alue voisi löytyä. Tavallaan monimutkaisuutta vähentäisi ”monimutkaisempi” pallo. Onnekkaassa tapauksessa poliittisen kentän voisi kuvata mielekkäästi vain kolmella ulottuvuudella löytäen kullekin puolueelle oman alueen 3-ulotteisesta pallosta se

Identiteettialgebra osa 2

Kuva
Identiteettialgebra Osa 2: Etumerkki kertolaskussa Korjattu 27.4.2018 Aiheen osa 1 on huomattavasti mielenkiintoisempi, sillä se käsittelee parittomuutta ja parillisuutta, mutta täydellisyyden vuoksi nyt osa 2. Ajatus siis on, että luvulla on identiteetti, joka koostuu kaksikosta { e , p }. Missä e viittaa etumerkkiin p parittomuuteen tai parillisuuteen. Tässä harrastuspohjalta syntyneessä identiteettialgebrassa sellaisenaan etumerkkitarkastelu voidaan tehdä vain kertolaskulle, koska vähennys- ja yhteenlaskussa pitäisi ottaa kantaa varsinaisten lukujen suuruuteen. Numeerisesti etumerkki "koodataan" numeroilla 1 ja 2, 1 tarkoittaa negatiivista, 2 positiivista. Numerot noudattavat negatiivisen etumerkin logiikkaa: Arkisesti sanottuna kaksi miinus-merkkiä perättäin tekee positiivisen luvun, yksi negatiivisen. 1. Kaava etumerkille kertolaskussa Etumerkki määritetään kaavalla 2 - sum( e ) Mod 2 missä e on etumerkkiin liittyvien identiteettiarvojen

Zenon ja liikkeen mahdottomuus

Kuva
Miksi Zenon todella sanoi, että liike on mahdotonta? Elealaisen koulukunnan (perustettu n. 400 eaa.) mukaan totuuteen ei tulla aistien välittämillä tiedoilla, sillä ne kuvastavat meille vain moneutta ja olioiden muttumista. Järki ja ajatteleminen johtavat ihmistä varsinaiseen totuuteen, joka on tiedossa tosiolevaisesta, ykseydestä ja muuttumattomasta. Elealaiset pitivät matemaattista ja ideellistä totuutta tosiolevaisina, jota vastoin empiirinen maailma oli oikeastaan harhanomaista. Zenon Elealainen puolusti elealaisen koulukunnan tavanoamisia ajatustottumuksia vastaan olevia ajatuksia osoittamalla, että on myös matemaattinen todellisuus, jota vain järki ymmärtää. Zenon tahtoi epäsuoralla todistuksella osoittaa, että ykseyden oleminen ilman liikettä on tosiolevaista. Sillä jos edellytetään, että on olemassa moneutta ja liikettä, joudutaan ristiriitaan. Kuuluisa esimerkki on pikajuoksijasankari Akhilleuksen kilpajuoksu kilpikonnan kanssa, missä kilpikonna starttaa pist

Identiteettialgebra osa 1

Identiteettialgebra Osa 1: Parittomuus ja parillisuus (Hieman korjattu 10.10.2018) Esittelen tässä blogikirjoituksessa omalta harrastuspohjalta syntyneen ns. identiteettialgebran.  Ajatuksena on, että luvulla on identiteetti, joka koostuu kaksikosta { e , p }, missä e tarkoittaa etumerkkiä, p parittomuutta tai parillisuutta. Tässä kirjoituksessa siis pitäydytään parittomuus- ja parillisuustarkateluissa ainoastaan. Luku p voi saada arvot 1 ja 2, luvun yhden tarkoittaessa paritonta ja luvun 2 parillista. Tarkasteluissa ei (välttämättä) tarvitse tietää lukujen numeerisisa arvoja, vain ovatko ne lähtökohtaisesti parittomia vai parillisia. Yhteenlaskussa lukujen on oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Vielä p :n numeerisista arvoista: 1 on luonnollisten lukujen joukossa pienin perustavasti pariton kokonaisluku, 2 pienin parillinen luku 1.  Kertolasku 1.1. Kaava parittomuuden tai parillisuuden määrittämiseen kertolaskussa Parillisuuden tai