Filosofis-arkisesti matemaattisesta aihepiiristä

Nollasta ja tyhjästä joukosta Jos mihin tahansa reaalilukuun a listätään nolla (0) tuloksena on a : a + 0 = a . Mitä tuolloin on lisätty a :han? Ei mitään? Sanoisin, että väärin. Jossain mielessä. Nimittäin ystävämme joukko-opin näkökulmasta joukko A = {0} ei ole tyhjä, siellä on jotain, nimittäin luku 0. Jos siis nyt sanoittaisiin, että 0 on ”ei mitään”, niin joukossa A ei olisi mitään. Kuitenkin siellä nyt selkeästi on jotain, alkio 0. Jotenkin filosofisesti 0 ei ole siinä määrin ”ei mitään”, että se johtaisi joukko-opin näkökulmasta joukon ainoana alkiona samaan tilaan kuin tyhjä joukko, joka on niin tyhjä, että siellä ei kertakaikkiaan ole mitään; tyhjä joukko on enemmän ”ei mitään” kuin 0. (Joskus nolla on itseasiassa neutraalialkio -- oleellisesti jotain muuta kuin "ei mitään".) Filosofisempi kysymys sitten on, sisältääkö tyhjä joukko itsensä – ja onko se tuolloin tyhjä. Ei millään ja tyhjyydellä on eronsa. Ajatellaanpa huonetta, joka o

Derivaatasta Yritän tässä kirjoituksessa selittää arkisesti, mitä derivaatta tarkoittaa. Fysiikan näkökulmasta se antaa ”hetkellisen nopeuden”. Matkan derivaatta on nopeus; on kuljettu tietty matka tietyssä ajassa. Derivaatta kertoo ”hetkellisen siirtymän” tässä ajassa so. nopeuden. Vastaavasti nopeuden derivaatta on kiihtyvyys. Kyse on hetkellisestä nopeuden muutoksesta mahdollisen pienessä ajassa. Geometrisesti käyrän derivaatta kertoo, kuinka jyrkkä käyrän muutos on mahdollisimman pienellä välillä. Pääsemme käyrän tangentin kulmakertoimeen. Toisen kertaluokan derivaatta puolestaan kertoo ”kuinka nopeasti käyrä muuttuu mahdollisimman pienessä muutoksessa”; saamme käyrän kaarevuuden. Tämä arkinen selostus lienee hieman epämääräinen, mutta toivottavasti antaa kipinää pohtia ja/tai tutkia asiaa enemmän. Kolmannen kertaluokan derivaatta puolestaan kertoo, kuinka nopeasti edelleen mahdollisimman pienessä muutoksessa yllä mainittu seikka tapahtuu; saamme käyrän