Filosofis-arkisesti matemaattisesta aihepiiristä

Alkuihmisten kakunjako Kuulin radiossa sanottavan, että joulu on ruokajuhla. Näin joulun kynnyksellä tuli taas palattua vanhaan luentomonisteeseen, joka liittyy kurssiin, jota en ole suorittanut (ja jolla en ole ollut). Mitä tekemistä tällä sitten on joulun kanssa? Kirjan ensimmäinen luku käsittelee matematiikan varhaishistoriaa sisältäen kevennyksenä vitsin muinaisten ihmisten probleemasta kakun jakamisesta kahtia: "Jaetaan kakku niin, että minä jaan sen ensin mielestäni kahtia ja sitten sinä valitset haluamasi puoliskon. Näin kumpikin saa mielestään vähintään puolet!" "Entä jos meitä olisikin kolme?" Image courtesy of Serge Bertasius Photography at FreeDigitalPhotos.net En malttanut olla miettimättä tuota kysyjän kysymystä. Päädyin seuraavaan vitsiin: Oletetaan, on kolme henkilöä, a, b ja c , jotka haluavat jakaa kakun siten, että kukin saa kolmasosan (yhtä suuren). Kuinka toimitaan? Yksi sanoo, olkoon tämä a ( a  luottaa

Itsestäänselvyys ja intuitiivinen ymmärtäminen -- miten nämä eroavat? (Harjoitustehtävänä on keksiä vastaus otsikon kysymykseen tämän kirjoituksen perusteella) Matematiikassa on kosolti (näennäisen) yksinkertaisia, so. intuitiivisesti itsestäänselviä lauseita. Toki on myös lauseita, joiden itsestäänselvyys -- mitä se sitten tarkoittaakin -- on vähemmän jos ollenkaan itsestäänselvää. Jopa todistuksen luettuaan sekä sen uskoakseen ymmärrettyään, ei välttämättä aina voi olla varma lauseen paikkaansapitävyydestä, mikä tietenkään ei (välttämättä) tarkoita, että lauseessa olisi mitään vikaa (tai todistuksessa). Lopulta usein "itsestäänselvyys" voi olla matematiikan opiskelijalle yksi suurimmista ongelmista; esimerkiksi ei pidä väheksyä "itsestäänselviltä" vaikuttavien asioiden merkitystä. Lopulta nämä eivät välttämättä -- jos ollenkaan -- ole niin "itsestäänselviä", kuin miltä aluksi saattavat vaikuttaa. Jos ajatellaan reaalilukujen joukossa vai

Numeroituvien lukujoukkojen mahtavuudesta - ja onko kauas pitkä matka? Tässä kirjoituksessa rajoitutaan lukujoukkoihin N , Z ja Q . Joukko N pitää siis sisällään kaikki positiiviset kokonaisluvut: {1, 2, 3, …} Nolla (0) toisaalta myös luetaan joukkoon N , vaikkakaan se ei ole aidosti positiivinen luku, mutta kuitenkin positiivinen luku. Tämä seikka tosin aiheuttaa tiettyä epämääräisyyttä: Esim. induktiotodistuksissa sopimusluonteisesti nolla jätetään tyypillisesti pois, jotta todistaminen onnistuu... Joukko Z siis sisältää kaikki sekä negatiiviset että positiiviset kokonaisluvut: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Joukko Q on rationaalilukujen joukko, joka sisältää sekä joukon N että joukon Z sekä näiden kaikki, arkisesti sanoen, murtolukukehitelmät pois lukien tapauksen, missä nimittäjänä olisi 0. Näissä kaikissa kolmessa joukossa on numeroituvasti äärettömän monta lukua, mutta arkisesti ajatellen saattaa tuntua hämmentävältä, että itseasiassa lisäksi  yhtä monta

Paradokseista Ehkä erityisesti jos matematiikassa törmää paradoksiin, pitäisi hälytyskellojen soida. Itse havahduin omassa opiskelumenneisyydessäni Euklidisten avaruuksien kurssilla vuonna 1997 törmätessäni Russelin paradoksiin. Kirjoitan nyt hyvin yleisellä tasolla. Jos jokin tulkkiutuu joukoksi, toisaalta se määritelmän mukaan ei ole joukko, toisaalta se on joukko, on luultavasti joukon määritelmää tarkistettava tai sitten filosofiaa semantiikan näkökulmasta on syvennettävä – ja heureka! – paradoksi raukeaa! Näkemystä on vain syvennettävä ja luotava ”paradoksin” kumoava uusi käsite – ”nähdä todella se, mikä on”. Yleisesti jos törmää ylipäätään paradoksiin voi olla syytä tarkistaa, pitääkö jotain määritelmää tarkistaa tai sitten filosofiaa syventää semantiikan osalta, ehkä luoda uusi käsitekategoria. Image courtesy of Stuart Miles at FreeDigitalPhotos.net Mitä tulee Russelin paradoksiin, niin kenties sen raukeamisen seurauksena ylipäätään filosofia voi kehittyä

Mitä tarkoittaa matemaattinen itseisarvo? Otan nyt opettajan roolin, sillä haluan oikaista vääryyden; koulussa on kuin opettajien ja/tai matemaattikkojen salaliitto, jonka puitteissa matemaattinen itseisarvo opetetaan käsitteellisesti oleellisesti epämääräisesti. Jopa siinä määrin epämääräisesti, että koululaiselle käsite itseisarvo ei koskaan koulun pohjalta edes selviä. Mitä siis itseisarvolla tarkoitetaan? Koulussa opetetaan, että itseisarvo on aina positiivinen. Mutta miksi sekä mitä itseisarvo itseasiassa tarkoittaa? Kouluesimerkki: |-4| = 4 eli luvun -4 itseisarvo on positiivinen vastine luvulle -4. Näin se suunnilleen koulussa muistaakseni aikoinaan opetettiin, mutta mistä itseasiassa on kyse? Itseisarvo tarkoittaa pisteiden etäisyyttä toisistaan ja etäisyys avaruudessa (ainakin reaaliakselilla) on positiivinen. Mitä tämä sitten tarkoittaa |-4|:n tapauksessa? Kysymys on luvun -4 etäisyydestä origosta, so. reaaliakselin pisteiden -4 ja 0 välistä etäisyyttä.

Ei mitään, tyhjyys ja luominen -- ajatus vain Päivitetty 16.2.2018 'Ei mitään' ”on olemassa” ennen olemassaoloa. Tyhjyyden voi luoda; seikkaa 'ei mitään' ei voi luoda; sen pohjalta luodaan. Kun luominen alkaa 'ei mistään', tuloksena voi olla mahdollisimman puhdasta; erityisesti tuloksena ei pitäisi olla mitään pahaa. Kuulostan varmaan aika "peikolta", mutta matemaattis-filosofisesti "paha" tarkoittaisi sinänsä järkevältä näyttävää, mutta kuitenkin virheellistä; jos matematiikan luominen on alkanut muusta kuin ei mistään , tuloksena voi olla "kummallista", vaikka sitä pidettäisiin virheettömänä. Image courtesy of dan at FreeDigitalPhotos.net Nuorena, noin 22-vuotiaana, haaveilin kirjan kirjoittamista aiheesta 'ei mitään'. Inspiraatio syntyi matematiikan pohjalta; käsite epsilon sekä kokemus nähdä raja-arvon käsitteessä suurta filosofista syvyyttä synnyttivät ensimmäiset ajatukset 'ei mistään'

Päivitetty 17.3.2018 Mitä yhteistä on nollalla ja ykkösellä? Tässä kirjoituksessa olen hapuillut ensi kertaa lähestyen "semanttista nollaa"... Vanha päivitys lopussa valaisee asiaa lisää. Lainausmerkkejä on käytetty epävarmuuden- ja määräisyyden vuoksi. Edellinen postaukseni oli tyypillisen epämääräinen – liian arkinen... Kysymys on tästä: a + 0 = a. Mitä a :han on nyt listätty? Voidaanko sanoa, että ei mitään? Kyllä, toisaalta jossain mielessä ”absoluuttisesti” siinä taitaisi olla jokin filosofinen ongelma. Ks. edellinen postaus. Vertaillaanpa seuraavia tuloksia: 1 * a = a 0 + a = a Tässä nyt nollalla ja ykkösellä on sama rooli: Ne ovat neutraalialkioita. Ykkönen ei edusta tyhjyyttä tai ei ole mielenkiintoinen ”ei mitään”. Silti kertolaskutoimenpiteessä se ei muuta laskun arvoa. Ykkösen tapauksessa tämä on intuitiivisesti itsestäänselvää; semanttisesti ottaen kyse on kutakuinkin siitä, että jokin ”kertaantuu yhden kerran”, jolloin näin ollen

Nollasta ja tyhjästä joukosta Jos mihin tahansa reaalilukuun a listätään nolla (0) tuloksena on a : a + 0 = a . Mitä tuolloin on lisätty a :han? Ei mitään? Sanoisin, että väärin. Jossain mielessä. Nimittäin ystävämme joukko-opin näkökulmasta joukko A = {0} ei ole tyhjä, siellä on jotain, nimittäin luku 0. Jos siis nyt sanoittaisiin, että 0 on ”ei mitään”, niin joukossa A ei olisi mitään. Kuitenkin siellä nyt selkeästi on jotain, alkio 0. Jotenkin filosofisesti 0 ei ole siinä määrin ”ei mitään”, että se johtaisi joukko-opin näkökulmasta joukon ainoana alkiona samaan tilaan kuin tyhjä joukko, joka on niin tyhjä, että siellä ei kertakaikkiaan ole mitään; tyhjä joukko on enemmän ”ei mitään” kuin 0. (Joskus nolla on itseasiassa neutraalialkio -- oleellisesti jotain muuta kuin "ei mitään".) Filosofisempi kysymys sitten on, sisältääkö tyhjä joukko itsensä – ja onko se tuolloin tyhjä. Ei millään ja tyhjyydellä on eronsa. Ajatellaanpa huonetta, joka o

Derivaatasta Yritän tässä kirjoituksessa selittää arkisesti, mitä derivaatta tarkoittaa. Fysiikan näkökulmasta se antaa ”hetkellisen nopeuden”. Matkan derivaatta on nopeus; on kuljettu tietty matka tietyssä ajassa. Derivaatta kertoo ”hetkellisen siirtymän” tässä ajassa so. nopeuden. Vastaavasti nopeuden derivaatta on kiihtyvyys. Kyse on hetkellisestä nopeuden muutoksesta mahdollisen pienessä ajassa. Geometrisesti käyrän derivaatta kertoo, kuinka jyrkkä käyrän muutos on mahdollisimman pienellä välillä. Pääsemme käyrän tangentin kulmakertoimeen. Toisen kertaluokan derivaatta puolestaan kertoo ”kuinka nopeasti käyrä muuttuu mahdollisimman pienessä muutoksessa”; saamme käyrän kaarevuuden. Tämä arkinen selostus lienee hieman epämääräinen, mutta toivottavasti antaa kipinää pohtia ja/tai tutkia asiaa enemmän. Kolmannen kertaluokan derivaatta puolestaan kertoo, kuinka nopeasti edelleen mahdollisimman pienessä muutoksessa yllä mainittu seikka tapahtuu; saamme käyrän

Onko Gödelin epätäydellisyyslause väistämätätön seuraus johtuen matematiikan alkuperästä? Tämä on seikka johon mielessäni palaan aika ajoin. Oletan, että matematiikka on ihmisjärjen tuote – toisaalla olen höpöttänyt ns. mahdollisesta ”luonnon matematiikasta”, mikä olisi eri asia kuin ihmisjärjen tuotteena tuntemamme matematiikka. Nyt, ihminen kertakaikkiaan on epätäydellinen, myös tämän järkensä. Jos siis matematiikan lähtökohta on ihmisjärjen käyttö, onko tuotteena lopulta jotain jossain määrin epätäydellistä väistämättä? Tai sitten ”kummallista”? Vai olemmeko löytäneet epätäydellisen matemaattisen järjestelmän järjellämme? Miksi? Huimaa on, että jos olettamani mahdollinen ”luonnon matematiikka” on olemassa, niin onko se täydellistä?  (” Onko luonnossa matematiikkaa II ”) Joskus uumoilin siitä, että matematiikan teoria joskus kehittyisi siten, että Gödelin epätäydellisyyslause raukeaisi. No, turhaa toiveajattelua kaiketi, oletan. Copyright: alphaspiri

Lähdekirjan nimi korjattu jälkeenpäin oikeaksi... Pyhä Geometria, tietoisuus ja fraktaalit Perustuu kirjaan ”Sacred Geometry - Designs of Creation" Pyhän geometrian alettua kiehtomaan minua yhä enemmän, päätin jakaa muiden kanssa ylläolevasta kirjasta joitain ajatuksia. Muistutan vielä, että pyhä geometria edustaa mystiikkaa. Kirjan kirjoittaja kirjoittaa, että häntä kiehtoo tietoisuuden ja olemassaolon itsensä tutkimus geometrian kautta. Suosittu alleviivaus e-kirjasta: ”Kuten vesi on kaloille meren pohjassa, me olemme upotettuna rakkauden, autuuden ja tietoisuuden mereen, mutta emme koskaan todella ymmärrä sitä täysin sen muuttumattomuuden ja kaikkalla läsnäolevuuden vuoksi.” Kirjan kirjoittaja kertoo fraktaalien olevan kuvioita, jotka toistavat itseään loputtomasti pienemmällä ja pienemmällä mittakaavalla ilman loppua. Kirjoittaja jatkaa, että jokin samankaltainen määrittelee tietoisuutemme ja todellisuutemme tosi luonteen. Edelleen kirjoi

Mitä yhteistä on nollalla ja äärettömällä? Äärettömään on ”vaarallista” suhtautua naiviisti. Se on jotain käsittämättömän mahtipohtista ja suurta. Äärettömyydessä esimerkiksi vaikuttaa tapahtuvan jotain omituista yksinkertaisillekin asioille. Esimerkiksi matemaatikot kieltäytyvät määrittelemästä näennäisen yksinkertaista laskutoimitusta 1 ∞ eli 1 potenssiin ääretön. Eli näennäisen triviaalista laskusta 1 * 1 * 1 * 1 * … ei voida todella sanoa, että onko se 1 vai jotain muuta. Raja-arvotarkastelu äärettömyydessä ”mahdollisimman lähellä” laskutoimitusta 1 ∞ johtaa täsmälleen Neperin lukuun e , jolle on omistettu ainakin yksi kokonainen kirja. Jaettaessa äärettömällä mikä hyvänsä äärellinen on tulos aina nolla. Ääretön kertakaikkiaan kumoaa suurudessaan kaiken, mikä on äärellistä. Entä sitten nolla? Pelkästään nollan (0) symbolin keksimiseen meni kauemmin kuin muiden numeroiden. Muinoin jätettiin tyhjä tila paikalle, johon nykyisin kirjoitetaan nolla. Ihminen

Pyhän geometrian filosofiaa lyhyesti Perustuu kirjaan "Sacred Geometry: Philosophy & Practice" Olen osittanut kirjoituksen Ludwig Wittgensteinin tyyliin numeroituihin ajatelmiin. Ajatelmat ovat suoria ja/tai vapaita käännöksiä yllä mainitusta kirjasta. Epilogina on kirjoittajan omaa arkista muotofilosofiaa hyvin suppeassa muodossa.. Varsinaiseen asiaan: Kreikkalainen filosofi Platon piti geometriaa ja numeroa mahdollisimman pelkistettynä sekä välttämättömänä ja siten ideaalina filosofisena kielenä. Mutta katsoi, että tämä toimii tosielämässä vain todellisuuden tietyllä ”tasolla”. Platonille todellisuus koostui puhtaista olemuksista tai arkkityyppisistä ideoista, joiden ilmiöistä hahmotamme vain kalpeita heijastuksia. Kreikkalainen sana ”idea” tarkoittaa myös muotoa. Edelleen näitä ideoita ei voi hahmottaa aisteilla, vaan pelkästään järjellä. Tässä geometria astuu kuvaan. (c) Fotolia ©  Rafael Laguillo  |  Dreamstime Stock Photos

Pythagoralainen fraktaalipuu Vuosikausia sitten ensimmäistä kertaa hahmottelin mielessäni ideaa fraktaalipuusta, mikä perustuisi suorakulmaiseen kolmioon ja neliöihin. Homma jäi kuitenkin vain ideaksi, enkä visualisoinut ideaa mitenkään. Olikin melkoista nähdä e-kirjassa kuva samankaltaisen idean pohjalta kehitetystä fraktaalipuusta myöhemmin. Tässä kirjoituksessa rajoitutaan tarkastelemaan mahdollisimman symmetrista tapausta ilman luovaa värien käyttöä. Lähdetään liikkeelle suorakulmaisesta kolmiosta, joka on havainnollisesti ottaen asetettu siten, että hypotenuusa c edustaa pohjaa. Edelleen kolmiossamme on kaksi 45°:een kulmaa ja siis yksi suorakulma. Seuraavaksi kolmion kaikkia sivuja vasten piirretään neliöt, joiden sivun pituus on kolmion sivun pituus: Seuraavaksi perustetaan uusi tämänkaltainen suorakulmainen kolmio ”oksille” sivua vasten, mikä ei sivua kolmion pisteitä. Tämän kolmion hypotenuusa on nyt neliön sivun pituus eli edellisen kolmion katee

Pyhä Geometria ja luominen Pyhästä geometriasta löytyy runsaasti materiaalia. Tämä blogikirjoitus kertoo vain suppeasti siitä, mitä pyhä geometria sanoo maailman synnystä. Tämä ei tietenkään ole mitään tiedettä vaan mystiikkaa. Aluksi erääseen keskeiseen pyhän geometrian ajatukseen. Pyhän geometrian mukaan kaikki tietoisuus on geometrista. Pyhän geometrian mystiikka kuvailee Luojana jonkinlaista kaiken näkevää ja tietävää tietoisuutta, henkeä. Geometrisesti tämä tietoisuus on piste. Muinainen määritelmä pisteelle "piste on ykseys, jolla on asema" sopii varsin hyvin tälle tietoisuudelle. Miten maailma sitten tämän mystiikan mukaan syntyi? Kaiken tietävä tietoisuus alkoi laajentamaan tietoisuuttaan; syntyi ympyrä. Seuraavaksi tämä tietoisuus päättää luoda toisen ympyrän jonnekin luomansa ympyrän pisteelle: Näiden kahden ympyrän väliin jäävä alue tunnetaan nimellä vesica piscis.  Tämä on keskeinen osa luomista: Kyseinen kuvio edustaa valo