Integraalin taikaa

Integraalin taikaa Konkretisoin tässä kirjoituksessa Integraalin henkisestä olemuksesta -kirjoitukseni ajatuksiani siitä, miten pituudesta päästään pinta-alaan sekä pinta-alasta tilavuuteen. Esimerkkinä johdamme ympyrän kehän pituuden avulla integroimalla ympyrän pinta-alan kaavan sekä edelleen ympyrän tilavuuden kaavan tietäen ympyrän pinta-alan kaavan niin ikään integroimalla. Ympyrän kehän pituus on 2π r . Integroimalla päästään seuraavaan ulottuvuuteen, tässä pinta-alaan. Se, mikä nyt integroidaan on puolet kehän pituudesta: π r , muuten saisimme kaksinkertaisen pinta-alan kaavan johtuen määritystavasta . Käytämme määrättyä integraalia alarajana - r , ylärajajana r , jotta integroimme koko ympyrän halkaisijan pituuden verran. Integroidaan (v oimme käyttää parillisen määrätyn integraalin kaavaa, koska käyrä käyttäytyy parillisen omaisesti): Ympyrän pinta-alan kaava on siis A = π r 2 . Tilavuuteen päästäksemme pyörähdyskappaleen tilavuuden määrit