Tekstit

Näytetään blogitekstit, joiden ajankohta on heinäkuu, 2015.

Pythagoraan lause ja ympyrän yhtälö

Kuva
Ympyrän yhtälön johtaminen Pythagoraan lauseella Eräässä aiemmassa kirjoituksessani koetin antaa avaimen analyyttisen (taso)geometrian sisäistämiseen. Tässä kirjoituksessa konkretisoin jotain höpötyksestäni siitä, mitä tarkoitin, kun kirjoitin ”entiteettien” tai ”objektien” määritelmistä ja pohdinnasta siitä, mitä ne ovat. Johdamme esimerkkinä Pythagoraan lauseella ympyrän yleisen yhtälön. Pythagoraan lause sanoo, että suorakulmaisen kolmion kateettien pituuksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin kyseisen kolmion hypotenuusan pituuden neliö: a 2 + b 2 = c 2 . Ympyrän määritelmä on: Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä P on vakio r. Alla olevassa kuvassa on piirretty mielivaltaiseen paikkaan tasoa ympyrä, jonka keskipiste P = ( x 0 , y 0 ). Ympyrän sisään on piirretty suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on ympyrän keskipisteestä ympyrän kehälle. Toisen kateetin päätepiste on pisteessä ( x , y 0 ), toinen kateet

Onko luonnossa matematiikkaa II

Kuva
Onko luonnossa matematiikkaa II [Tämä on oikeastaan vain vanhaa runollis-filosofista höpötystäni.] Matematiikka näyttää kuvaavan hämmästyttävän tehokkaasti ”kaikkea” – koko maailmankaikkeutta ja ”kaikkea” mitä siinä on. Itse olen lopulta tullut siihen tulokseen, että seikka, että matematiikka näyttää olevan universaalia (tämä on varsin vallitseva käsitys, sisäisesti se toki on), voi olla pelkkä illuusio. Tiettyyn rajaan asti mallit näyttävät toimivan, mutta voin vain sanoa, että uskon , että maailmankaikkeuden ”täydellinen ymmärtäminen” voi olla ihmisen ymmärryskyvyn tuolla puolen ja matematiikkakin lopulta vain ihmisjärjen tuote, jonka abstraktiot näyttävät voivan liittyä oleellisesti luontoon. Luonnossa voi kuitenkin vallita jonkinlainen ilmiö, joka on oleellisesti matemaattinen (käytännössä tältä vaikuttaa). Sen kieli ehkä muistuttaa ihmisen keksimää matematiikan kieltä, mutta on itseasiassa jotain ihan muuta.  Tavallaan samoin kuin vain matematiikassa todella on fra