Pythagoraan lause ja ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälön johtaminen Pythagoraan lauseella Eräässä aiemmassa kirjoituksessani koetin antaa avaimen analyyttisen (taso)geometrian sisäistämiseen. Tässä kirjoituksessa konkretisoin jotain höpötyksestäni siitä, mitä tarkoitin, kun kirjoitin ”entiteettien” tai ”objektien” määritelmistä ja pohdinnasta siitä, mitä ne ovat. Johdamme esimerkkinä Pythagoraan lauseella ympyrän yleisen yhtälön. Pythagoraan lause sanoo, että suorakulmaisen kolmion kateettien pituuksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin kyseisen kolmion hypotenuusan pituuden neliö: a 2 + b 2 = c 2 . Ympyrän määritelmä on: Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä P on vakio r. Alla olevassa kuvassa on piirretty mielivaltaiseen paikkaan tasoa ympyrä, jonka keskipiste P = ( x 0 , y 0 ). Ympyrän sisään on piirretty suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on ympyrän keskipisteestä ympyrän kehälle. Toisen kateetin päätepiste on pisteessä ( x , y 0 ), toinen kateet