Tekstit

Näytetään blogitekstit, joiden ajankohta on 2015.

Integraalin taikaa

Kuva
Integraalin taikaa Konkretisoin tässä kirjoituksessa Integraalin henkisestä olemuksesta -kirjoitukseni ajatuksiani siitä, miten pituudesta päästään pinta-alaan sekä pinta-alasta tilavuuteen. Esimerkkinä johdamme ympyrän kehän pituuden avulla integroimalla ympyrän pinta-alan kaavan sekä edelleen ympyrän tilavuuden kaavan tietäen ympyrän pinta-alan kaavan niin ikään integroimalla. Ympyrän kehän pituus on 2π r . Integroimalla päästään seuraavaan ulottuvuuteen, tässä pinta-alaan. Se, mikä nyt integroidaan on puolet kehän pituudesta: π r , muuten saisimme kaksinkertaisen pinta-alan kaavan johtuen määritystavasta . Käytämme määrättyä integraalia alarajana - r , ylärajajana r , jotta integroimme koko ympyrän halkaisijan pituuden verran.   Integroidaan (v oimme käyttää parillisen määrätyn integraalin kaavaa, koska käyrä käyttäytyy parillisen omaisesti): Ympyrän pinta-alan kaava on siis A =  π r 2 . Tilavuuteen päästäksemme pyörähdyskappaleen tilavuuden määrit

Mitä matematiikka opettaa?

Kuva
Mitä matematiikka opettaa? Usein ajatellaan, että matematiikka opettaa vain laskemaan. Kuitenkin kun siihen syvällisemmin perehtyy, se opettaa myös ajattelemaan filosofisemmin koko elämää, kaikkea. Matematiikka on inspiroinut koko kosmosta käsitteleviin näkemyksiin monilla eri osa-alueillaan pelkästään siinä sinällään olevasta sinänsä olevaisesta erillään olevasta abstraktista omasta olemuksestaan. Edward Frenkel on ”Love and Math”-kirjassaan kirjoittanut seuraavaa: ”Matematiikka opettaa meitä analysoimaan tarkasti todellisuutta, tutkimaan tosiseikat, noudattamaan niitä, mihin ikinä ne johtavatkaan. Matematiikka vapauttaa meidät dogmeista ja ennakkoluuloista ja ruokkii innovointikykyä. Se muodostaa siten työkaluja, joilla pääsee tarkasteltavan kohteen tuolle puolen.” Copyright:  basketman23 / 123RF Stock Photo Georg Cantor joka tuli kuuluisaksi erityisesti äärettömien joukkojen mahtavuutta koskevista tutkimuksistaan kirjoitti: ”Matematiikan ydin on sen vapaus.”

Matematiikan henkisestä olemuksesta

Kuva
Voiko matematiikan henkisestä olemuksesta puhua? Matematiikan olioilla on myös henkinen olemuksensa, mutta voiko siitä puhua tai kirjoittaa? Se on hieman kuin puhuisi tunteista. Voiko siis tunteista puhua? Edelleen lopulta ainoa ajatukseni, mitä muistan joskus yliopiston ruotsin kurssin esseeseeni kirjoittaneeni on: ”En ole koskaan nähnyt matematiikkaa, olen vain tuntenut sen suuren voiman.” Onko matematiikka tunne? Epäilemättä ei, mutta siitä voi löytää henkisen puolen. Tunneituimmat tunteet jotka matematiikkaa kohtaan ovat, ovat pelko ja viha. Usein ”yleismaailmallisessa” filosofiassa pelko ja viha edustavat jotain rakkauden vastaista. Jotkut ihmiset edelleen kokevat rakastavansa matematiikkaa. Tietysti tämä rakkaus ei ole samankaltaista kuin ihmisen toiseen ihmispersoonaan kokema rakkaus. Koska matematiikka ei ole käsinkosketeltavaa – eikä sitä voi nähdä – rakkaus kohdistuu johonkin henkiseen. Tässä tapauksessa tosiolevaiseen, so. ideoiden maailmaan. Aito rakkaus i

Eräs Idea

Kuva
Eräs idea Matematiikassa on kysymys pitkälti abstraktioiden ymmärtämisestä ja ideoista. Yritän tässä blogikirjoitutksessa antaa näkemystä ongelmanratkaisuun esimerkkinä hyvin yksinkertainen geometrian tehtävä. Otan myös kantaa alakoulun matematiikan opettamiseen. Vähemmälti matematiikkaan perehtyneelle aluksi seuraava tehtävä voi tuntua vaikealta: On annettu neliö, jonka sisään on piirretty mahdollisimman suuri ympyrä. Mikä on neliön ja ympyrän väliin jäävän alueen kokonaispintala, kun neliön sivun pituus on n ? Ilmaisu voi kuulostaa hankalalta, mutta kun piirtää tehtävänannosta kuvan, selkiytyy tehtävänanto idean tasolla triviaaliksi. Idea neliön ja ympyrän väliin jäävien pinta-alojen määrittämiseen on selkeästi määrittää neliön pinta-ala sekä ympyrän pinta-ala ja vähentää nämä toisistaan; erotus on reunoilla olevan neljän kaareutuvien alueiden pinta-alojen summa. Neliöstä tiedetään, että sen sivun pituus on n , jolloin n eliön pinta-ala on yksinkertaisest

Oma vitsi

Kuva
Oma vitsi Edellinen blogipostaus perustuu olemassa olevaan vitsiin. Nyt vihdoin jaan muiden kanssa erään itse keksimäni vitsin. Mitä yhteistä on jumalalla, matemaatikolla ja ohjelmoijalla? - Nämä kaikki voivat luoda oman maailman, jonka sääntöjä muiden on noudatettava. Image courtesy of AKARAKINGDOMS at FreeDigitalPhotos.net Ehkä muut postaukseni ovat parempia vitsejä kuin varsinainen vitsini -- ainakin aina ensimmäinen versio. :-) Edellä olevasta vitsistä on vielä hieman pidempikin versio, mutta lyhyenä se on ehkä koomisimmillaan.

Ihmisten lukumäärä kuolemattomuudessa III

Kuva
Joukko N ja ihmisten lukumäärä kuolemattomuudessa III Kokoan tässä osien I ja II pointit yhteen ja esitän asian havainnollisemmin sekä tuon esiin äärellisen ja äärettömän lukumäärän mahdollisuudet. Kirjoitus pohjautuu puolivakavasti vitsiin, missä matemaatikolta, fyysikolta ja insinööriltä kysytään, milloin ikuisuus saavutetaan. Vitsin mukaan matemaatikko vastaa ”ei koskaan”, fyysikko vastaa ”joskus” sekä insinööri vastaa ”ihan pian”. Joukko N eli luonnollisten lukujen joukko sisältää kaikki positiiviset kokonaisluvut. Kuten muistamme, ∞ eli ääretön ei ole luku ylipäätään, erityisesti se ei ole joukon N luku. Esitetään ajatusleikki: Ihmisiä on aluksi äärellinen lukumäärä, ihmisiä syntyy äärellisellä nopeudella lisää loputtomasti ja ihminen on kuolematon. Miten nyt ihmisten lukumäärä käyttäytyy? Joukossa N ei ole ylärajaa; otettiinpa mikä hyvänsä joukon N luku n , on aina suurempi luku n + 1, joka siis ≠ ∞. Oletetaan aika lineaariseksi ja olkoon ihmisten

Cantorin joukon implementointi tietokoneella

Kuva
Cantorin joukon implementointi tietokoneella Cantorin joukko on varsin kiehtova fraktaali, kun siihen perehtyy enemmän. Perusidea on käsitellä reaalilukuväliä [0,1]. Fraktaali rakennetaan jakamalla tämä väli aina kolmeen yhtä suureen osaan poistaen keskimmäinen. Tästä jatketaan jakamalla uudet välit kolmeen yhtä suureen osaan poistaen niistä keskimmäinen. Tätä jatketaan loputtomasti. Joukko koostuu pisteistä, jotka tässä prosessissa ovat jääneet jäljelle. Joukko-opillisesti Cantorin joukkoon kuuluvat pisteet voidaan esittää seuraavasti: Unioni kertoo, mitä väliltä [0,1] poistetaan. Olen käyttänyt juuri tätä kaavaa tekemässäni ohjelmassa. Ideana on tarkastella lausekkeessa olevaa unionein ilmaistua väliä, mikä kertoo, mitä joukkoon ei  kuulu. Alla on kuva tällä kertaa Javalla toteutetun ohjelman tulostuksesta: Ohjelmassa on käytetty iteratiivista toteutusta. En julkaise tässä koko ohjelmaa, ainoastaan metodit, jotka liittyvät joukon toteuttam

Logiikan tuolla puolen

Kuva
Väittelystä logiikan tuolla puolen Ajattelu pysyy usein johdonmukaisena, kunnes esim. ärsyttävä tunne ottaa vallan. Tapahtuu formula-slangilla sanottuna spinnaaminen. Ajattelussa voi syntyä epäjohdonmukaisuuksia ja joutuu usein ristiriitaan omassa ajattelussa. Alkaa puolustamaan tunnettaan tai tunteesta syntynyttä ajatusta, eikä enää asiaa, josta alunperin eli kyse. Formula-termein ilmaistuna tapahtuu ulosajo. Joskus formula-kuski saa oikaistua spinnin, mutta on menettänyt aikaa, eikä voita kisaa – joskus tosin voi voittaa ollessaan riittävän ylivoimainen. Jos väittelyssä toinen väittelijöistä on tahallaan ärsyttänyt, on hän formula-vertauksessa tönäissyt autollaan toisen autoa ja saanut tämän spinnaamaan, eikä voi olla moraalinen voittaja, vaikka voittaisi ”kisan”. Image courtesy of David Castillo Dominici at FreeDigitalPhotos.net Otan seuraavaksi yllä olevasta esimerkkinä vertausten käytön: Väittelijät V1 ja V2 puhuvat asiasta A. V2 ottaa vertauksen asiast

Pythagoraan lause ja ympyrän yhtälö

Kuva
Ympyrän yhtälön johtaminen Pythagoraan lauseella Eräässä aiemmassa kirjoituksessani koetin antaa avaimen analyyttisen (taso)geometrian sisäistämiseen. Tässä kirjoituksessa konkretisoin jotain höpötyksestäni siitä, mitä tarkoitin, kun kirjoitin ”entiteettien” tai ”objektien” määritelmistä ja pohdinnasta siitä, mitä ne ovat. Johdamme esimerkkinä Pythagoraan lauseella ympyrän yleisen yhtälön. Pythagoraan lause sanoo, että suorakulmaisen kolmion kateettien pituuksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin kyseisen kolmion hypotenuusan pituuden neliö: a 2 + b 2 = c 2 . Ympyrän määritelmä on: Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä P on vakio r. Alla olevassa kuvassa on piirretty mielivaltaiseen paikkaan tasoa ympyrä, jonka keskipiste P = ( x 0 , y 0 ). Ympyrän sisään on piirretty suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on ympyrän keskipisteestä ympyrän kehälle. Toisen kateetin päätepiste on pisteessä ( x , y 0 ), toinen kateet

Onko luonnossa matematiikkaa II

Kuva
Onko luonnossa matematiikkaa II [Tämä on oikeastaan vain vanhaa runollis-filosofista höpötystäni.] Matematiikka näyttää kuvaavan hämmästyttävän tehokkaasti ”kaikkea” – koko maailmankaikkeutta ja ”kaikkea” mitä siinä on. Itse olen lopulta tullut siihen tulokseen, että seikka, että matematiikka näyttää olevan universaalia (tämä on varsin vallitseva käsitys, sisäisesti se toki on), voi olla pelkkä illuusio. Tiettyyn rajaan asti mallit näyttävät toimivan, mutta voin vain sanoa, että uskon , että maailmankaikkeuden ”täydellinen ymmärtäminen” voi olla ihmisen ymmärryskyvyn tuolla puolen ja matematiikkakin lopulta vain ihmisjärjen tuote, jonka abstraktiot näyttävät voivan liittyä oleellisesti luontoon. Luonnossa voi kuitenkin vallita jonkinlainen ilmiö, joka on oleellisesti matemaattinen (käytännössä tältä vaikuttaa). Sen kieli ehkä muistuttaa ihmisen keksimää matematiikan kieltä, mutta on itseasiassa jotain ihan muuta.  Tavallaan samoin kuin vain matematiikassa todella on fra

Miksi Zenon sanoi, että liike on mahdotonta?

Kuva
Miksi Zenon sanoi, että liike on mahdotonta? Zenon Elealainen (n. 490 – 420 eaa.) tunnetaan esisokratelaisena filosofina, jonka paradoksit ovat vaivanneet ajattelijoita pitkään. Zenon pyrki paradokseillaan osoittamaan moneuden, liikkeen ja äärettömän välisen ristiriidan. Liikkeen mahdottomuuteen liittyen Zenon esitti seuraavan paradoksin: Liike on mahdotonta, koska minkä tahansa joka liikkuu, on ensin saavutettava puolet matkastaan ennen kuin saavuttaa päämäränsä. Mutta tätä ennen on saavutettava neljännes matkastaan ja niin edelleen, loputtomasti . Siten liike ei voi koskaan edes alkaa! Image courtesy of Stuart Miles at FreeDigitalPhotos.net Yleisesti siis kuljettavasta matkasta on siis aina ensin kuljettava 2 n :s osa ja lukuja n on loputtomasti. Aina siis pätee: Olipa äärellinen matka mikä hyvänsä, sillä on loputtomasti osamatkoja. Paradoksit ovat syntyneet raja-arvon käsitteen puuttumisen johdosta; mahdollisimman pientä muutosta ei ole k

Opi hallitsemaan analyyttinen geometria

Kuva
Opi hallitsemaan lukion analyyttinen geometria Jaan tässä kirjoituksessa oman monen vuoden takaisen lukion laajan matematiikan analyyttisen geometrian itsenäisen opiskeluni ytimen. Jos perusidean sisimmän sisäistää täydellisesti, aukeavat kaikki lukion analyyttisen geometrian tehtävätkin, ”täydellisesti”. Myöhemmin voikin tutstua n -ulotteiseen geometriaan ja avaruuksiin joiden dimensio ei ole kokonaisluku yliopistossa. Mistä on kyse? Jälleen on painotettava, että matematiikassa ei ole kysymys (vain) numeroista ja kaavoista. Mutta lukion analyyttinen geometriahan sisältää kaavoja kosolti. Yritän antaa avaimen näkemään esitettyjen kaavojen tuolle puolen. Kysymys on ideoiden sisäistämisestä ja mikä parasta lukion analyyttisen geometrian hallinnan sisäistämiseen riittää yhden idean sisäistäminen, mikä tulee analyyttisen geometrian perustajalta, ranskalaiselta matemaatikolta ja filosofilta Rene Descartesilta (1596 - 1650). Mikä onkaan parempi tapa oppia analyyttistä g

Kun matemaatikko "uhraa pelin"

Kuva
Kun matemaatikko ”uhraa pelin” Esitän tässä blogikirjoituksessa yksinkertaisen tunnetun esimerkin antiteesitodistuksesta eli reduction ad absurdum -filosofian todistuksesta. Siinä väitteelle esitetään vastaväite, joka pyritään todistamaan todeksi. Jos tulos on ristiriita, on vastaväite epätosi ja alkuperäinen väite tosi. G.H. Hardy on kuvannut tällaista todistamistapaa pelin uhraamiseksi verratessaan antiteesitodistusta sakin pelaamiseen. Esitetyssä todistetaan, että alkulukuja (alkuluku on luku, joka on jaollinen vain 1:llä ja itsellään) on ääretön määrä. Todistus on Eukleideen (n. 300 vuotta eaa.) todistus siitä, että alkulukuja on ääretön määrä itseni mukailemana. Lähteenä olen käyttänyt Matemaatikon apologia -kirjaa, missä G.H. Hardy on käyttänyt lähteenä Eukleideen todistukselle Eukleideen Alkeet -teosta. Väite: Alkulukuja on äärettömän monta. Todistus. Alkulukuja ovat luvut (A) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … joita ei voi jakaa itseään

Onko luonnossa matematiikkaa?

Kuva
Onko luonnossa matematiikkaa? Hieman päivitetty 28.4.2020 Galileon mukaan luonnonlait on kirjoitettu matematiikan kielellä, mutta voiko sanoa, että luonnossa on matematiikkaa? (Huomautettakoon (mahdollisten) väärinkäsitysten välttämiseksi, että Galileo ei tietääkseni ole sanonut, että luonnossa on matematiikkaa.) Meidän tuntemamme matematiikka itsessään on abstraktia, käsitteellistä, tosiolevaista eli se on olemassa ideoiden maailmassa , erillään fyysisestä, käsin kosketeltavasta maailmasta. Jotkut ovat tulkinneet, että universumia kuvaavat matemaattiset lait ovat olemassa riippumatta ihmisestä ja ovat aina olleet; ihminen on järjellään löytänyt ne. Ja löytäminen jatkuu edelleen. Mutta on jokseenkin mahdotonta todentaa matemaattisista laeista, että ne olisivat aina olleet, eikä tällainen käsitys vastaa edes alkuräjähdysteoriaa. Miten sitten puhdas matematiikka itsessään, ilman sovelluksia? Ilman sen ”keksimistä” tai ”löytämistä” ei olisi voitu esittää universumia kuv

Lukujärjestelmämuunnoksista

Kuva
Lukujärjestelmämuunnoksista (Hieman päivitetty / korjattu 15.07.2020, ei pitäisi kirjoitella öisin...) On oletettu, että ihminen on ottanut useimmin käyttämäksi lukujärjestelmäkseen 10-järjestelmän, koska ihmisellä on 10 sormea. Kuitenkin pitkään ennen ajanlaskun alkua mm. babylonialaiset käyttivät 60-järjestelmää. Siinä kantaluku on siis 60. Tämä blogikirjoitus keskittyy lähinnä ohjelmoinnissa usein tarvittaviin muihin lukujärjestelmiin. Itse otin ensiaskeleen muuhun kuin 10-järjestelmään 12-vuotiaana Commodore 64:n kanssa ohjelmoidessani Basicilla ja suunnitellessani paperille omia sprite -kuvioita. Tuolloin muunnos 10-järjestelmästä 2-järjestelmään ja toisinpäin tuli hyvin tutuksi. Myöhemmin konekieliohjelmoinnin (assembly) parissa myös 16-järjestelmä (heksadesimaalijärjestelmä) tuli käyttööni niin Commodore 64:n konekieliohjelmoinnissa kuin Amigan konekieliohjelmoinnissa. Nykyäänkin käytän ohjelmoinnin yhteydessä näitä järjestelmiä. Mainittakoon tässä vielä, että tie