Tekstit

Näytetään blogitekstit, joiden ajankohta on joulukuu, 2014.

Mandelbrotin joukon generointi tietokoneella

Kuva
Mandelbrotin joukon generointi tietokoneella Alkusanat Benoit Mandelbrot (1924 – 2010) oli ranskalainen matemaatikko, jonka nimeä kantaa yksi kuuluisimmista fraktaaleista, Mandelbrotin joukko. Mandelbrotin joukon tietokoneella toteuttivat ensimmäisen kerran vuonna 1979 matemaatikot Robert Brooks ja Peter Matelski. Tässä blogikirjoituksessa käymme aluksi läpi Mandelbrotin joukon matemaattisen määritelmän ja lopuksi esitän tekemäni tietokoneohjelman, joka generoi Mandelbrotin joukon. Mandelbrotin joukon matemaattinen määritelmä Mandelbrotin joukko on joukko M , johon kuuluvat ne pisteet c , joille z n ei karkaa äärettömäksi, kun luvun n annetaan lähestyä ääretöntä, kun z 0 =  c z n +1 =  z n 2 +  c Tässä z ja c ovat siis molemmat kompleksilukuja. Aloituspiste on (0 + 0 i ). Mandelbrotin joukko kompleksitasolla Mandelbrotin joukko generoidaan tyypillisesti kompleksit

k-kantainen logaritmi negatiivisesta reaaliluvusta

Kuva
k -kantainen logaritmi negatiivisesta reaaliluvusta Tämä on eräs omituinen matemaattinen oma keksintöni, jonka keksin puhtaasta mielenkiinnosta, kun olin opiskellut n. 2.5 vuotta matematiikkaa (vuoden 1998 alku muistaakseni). Opiskeluni pohjalta olin oppinut tähän liittyen jotain lähinnä kompleksiluvuista. Kuitenkaan kompleksianalyysiä en ole koskaan opiskellut. Loppujen lopuksi ainoa lukiomatematiikan ulkopuolinen oppini kompleksilukuihin liittyen taisi olla differentiaaliyhtälöiden kurssilla esiintynyt Eulerin kaava (*), joka taisi toimia inspiraation lähteenä, ainakin todistuksen apuna. Tavallinen laskin antaa errorin, jos yrittää ottaa logaritmin negatiivisesta luvusta. Tuloksena onkin luonnollisesti kompleksiluku. Menen nyt asiaan eli itse kaavaan. Olkoon x ∈ ℜ ja x < 0 sekä k  > 1. Nyt Edellä ln tarkoittaa luonnollista logaritmiä eli e -kantaista logaritmiä. Tässä e on Neperin luku (tai Napierin luku), joka on irrationaaliluku, eli sillä on loputo

Imaginaariyksikkö i:n potenssit

Kuva
Kaava korjattu oikeaan muotoon 25.4.2015 Imaginaariyksikkö i :n potenssit Muistan, että lukioaikoinani oli tehtävänä määrittää imaginaariyksikkö i :n positiivisia kokonaislukupotensseja. Keksin silloin menetelmän, jolla potenssin saa helposti selville ilman opetettua eksponentin ryhmittelyteknikkaa. Esitän menetelmän tässä, sekä lopuksi vielä myöhemmin keksimäni kaavan, jolla voi määrittää mielivaltaisen imaginaariyksikkö i :n reaalilukupotenssin. Kompleksiluku z on muotoa z = a + ib , missä jälkimmäinen osa on imaginaariosa ja edellinen luvun reaaliosa. Nyt tarkastelemme vain imaginaariyksikkö  i :tä. Sen ns. vaihekulma arg i = 90°. Arkisemmin ajateltuna esitetystä kompleksiluvun z muodosta näkeekin, että pelkkä kompleksiluku i luo janan origosta "ylöspäin" kohtaan 90° pituudella 1. Tämän näkemistä helpottaa ajatella luku z vektorina, missä imaginaariosa edustaa pystyakselin suuntaa. Siitä, että i :n vaihekulma on 90° seuraa, että i :llä kertominen tarkoitta

Fraktaaleista

Kuva
Fraktaaleista Hieman päivitetty 30.8.2019  [tästä kirjoituksesta on tullut vähintään hivenen sekava, koska kirjoitus koostuu eri lähteistä eri aikana kirjoitettuna] Mikä on fraktaali? Lyhyesti sanottuna fraktaali on muoto, jolla on tiettyjä erityispiirteitä. Erikoista fraktaaleissa on se, että niitä voi zoomata loputtomiin siten, että uusia piirteitä löytyy loputtomasti. Historiaa Fraktaaleihin liittyvä matematiikka sai alkunsa jo 1600-luvulla Gottfried Leibnizin tutkimusten myötä. Varsinaisesti ensimmäisen kerran fraktaalit tulivat matematiikkaan kuitenkin 1800-luvulla, mutta niiden kunnollinen tutkimus on voinut käynnistyä vasta tehokkaiden tietokoneiden myötä. Hupaisaa on, että kun tutkijat ensimmäisen kerran generoivat tietokoneella yhden kuuluisimmista fraktaaleista, Mandelbrotin joukon, he luulivat tehneensä virheen, koska tulos oli niin yllättävä. Tämä kuvastaa tehokkaiden tietokoneiden roolia fraktaalien tutkimuksessa, mikä vielä 1800-luvulla ei ol

Numeroiden määrän selvittäminen luvussa

Kuva
Numeroiden määrän selvittäminen luvussa Päivitetty 25.1.2020 : Hups, olin kirjoittanut juuri päinvastoin aiemmin tuon hakasulkeissa olevan asian alla. (Versio 1.903) Matemaattisesti numeroiden määrän kokonaisluvussa > 0 saa laskemalla selville logaritmilla. Positiivisen kokonaisluvun numeroiden lukumäärän k- järjestelmän luvussa antaa lauseke Trunc(Log k (luku)) + 1 Trunc on Pascal-kielen ilmaisu ja tarkoittaa liukuluvun katkaisemista kokonaisluvuksi. "luku" on k- järjestelmän luku muunnettuna 10-järjestelmän luvuksi. Ideana on tutkia sitä, kuinka monta kantajärjestelmän tasapotenssia luvussa on, so. montako kertaa käsiteltävän luvun voi jakaa kantaluvullaan ennenkuin luku < 1. Tässä apuna on ystävämme logaritmi, mikä on käänteinen toimitus potenssille. Esimerkkejä: Esimerkiksi 10-järjestelmän luvussa 12345678 on 7 10-potenssia: Trunc(Log 10 12345678) = 7, numeroita 7 + 1 = 8. Alla olevaa varten katso artikkelini Lukujärjestelmämuunno