Onko tyhjä joukko joukko?

Onko tyhjä joukko itsessään joukko?

Olettakaamme, että henkilöllä on 100 kirjaa. Tuolloin hänellä on 100 kirjan kokoelma. Mutta entäpä jos henkilöllä ei ole kirjoja ollenkaan? Onko hänellä tuolloin kirjakokoelmaa? Ei.

Voidaanko siis sanoa, että hänen kirjakokoelmansa on olematon, tyhjä? Varmaankin niin voi sanoa.

Mutta entä jos kokoelmaa siis ei ole ja sanotaan, että kokoelma on tuolloin tyhjä kokoelma, niin onko tämä kokoelma, jota ei ole (eli se on "tyhjä kokoelma") itsessään kokoelma?

Tästä pääsemme tyhjään joukkoon. Onko tyhjä joukko itsessään joukko? Kyseessä on "entiteetti", jossa ei ole mitään, onko se siis kokoelma ei mistään? Onko tällainen "entiteetti" kokoelma? Se ei sisällä mitään, kuinka se siis voi olla kokoelma, tässä joukko. Tyhjä se on, mutta onko se itsessään joukko? Jos on, niin joukko mistä? Kirjaimellisesti ei mistään.

Tämä lienee lähinnä semanttista pyörittelyä.

Blogiini sopiva teemavideo

Voidaanko sanoa, että tyhjä joukko itsessään kaikkoaa matemaattiseen "tyhjyyteen" olemattomana "joukkona", "kokoelmana" ei-mistään?

Mutta siitähän se kaikki alkaa! Puhtaimmillaan. Siksi runollisesti ottaen tyhjä joukko on osa jokaista joukkoa.

Vai onko jokin joka ei sisällä mitään (mutta onko se jotain?) itsessään todella osa? Runollisesti voisi kysyä, onko tyhjä joukko ylipäätään olemassa?

Cantorin joukko rekursiolla

Cantorin joukko rekursiolla

Eräässä vanhassa kirjoituksessani on Java-metodit Cantorin joukon generoimiseen ilman rekursiota. Siinä ongelma oli laskentatarkkuus ohjelman nojatessa pedanttisesti joukon joukko-opilliseen määrittelyyn.

Tässä kirjoituksessa esitettäköön kokonaisuudessaan JavaScriptillä toteuttamani ohjelma, jossa ideana on tarkastella piirrettävien välien muodostamista. Ensimmäinenhän piirretään alkukohdasta kohtaan (viivan pituus) * 1 / 3, keskikohta jätetään piirtämättä sekä nyt toinen piirrettävä viiva alkaa kohdasta (viivan pituus) * 2 / 3, pituuden ollessa se 1 / 3 piirrettävän viivan pituudesta.

Näin piirrettäessä laskentatarkkuuden rajat eivät tule heti vastaan.

Ohessa kokonainen JavaScript-ohjelma Cantorin joukon piirtämiseen rekursiolla (png-kuvana):

Klikkaa kuvaa nähdäksesi se suurempana

Vielä kuva ohjelman tulostuksesta:

Näinä kesäisinä päivinä ei näemmä jaksa asiaan mitään sen ihmeempää lisätä...

Politiikan kenttä n-uloitteisena "pallona"

Voisiko poliittisia suuntauksia kuvata n-ulotteisella ”pallolla”?

Puolueiden näkemysten mennessä osin sisäkkäin, erityisesti perinteisessä poliittisessa janassa vasemmiston ja oikeiston osalta, vaikuttaisi mielekkäältä kuvata poliittista ”suuntausta” perinteisen janan sijaan vähintään 3-ulotteisella pallolla puolueiden näkemysten mennessä osin sisäkkäin. Jana on tällaiseen kuvaamiseen riittämätön.

Näin myös käsitteet vasemmisto ja oikeisto menettäisivät perinteisessä mielessä lisäksi merkityksensä.

3-ulottuvuutta voi tosin olla riittämätöntä, sillä siltä osin kuinka esim. vasemmiston ja oikeiston näkemykset yhtyvät, ei saisi välttämättä jatkuvaa yhtenäistä 3-ulotteista aluetta. Ulottuvuuksia lisättäessä jatkuva yhtenäinen alue voisi löytyä.

Tavallaan monimutkaisuutta vähentäisi ”monimutkaisempi” pallo. Onnekkaassa tapauksessa poliittisen kentän voisi kuvata mielekkäästi vain kolmella ulottuvuudella löytäen kullekin puolueelle oman alueen 3-ulotteisesta pallosta sen kolmen ulottuvuuden kuvatessa poliittiisia näkemyksiä.

Tietämättä mikä määrä ulottuvuuksia on riittävää, voitaisiin sanoa politiikan eri suuntausten muodostavan n-ulotteisen "pallon" tilasta aliavaruuksia, joista jokin alue kuuluisi kullekin puolueelle.

Yksittäisen puolueen osalta poliittisen avaruuden ”tilavuusalue” kuvaisi kuinka monimuotoinen se näkemuksiltään on. Jos monimuotoisuus on liian suurta, on mielekästä pohtia onko puolueella varsinaista omaa suuntausta missään asiassa; puolue saattaisi olla monimutoinen aatteiltaan kuitenkin niin, että se ei mene missään asiassa pallon äärirajoille.

Lisäksi koska selvästi sekoittumista on tapahtunut ajan hampaan rouskeessa, ilmeisesti poliittisen avaruuden ”värikartta” (kuvaa puoleita) eläisi ja kukin puolue näyttäisi geometrisesti ottaenkin ajan saatossa mahdollisesti n-ulotteisessa "pallossa" erilaiselta.

Esimerkiksi se mitä nykyään sanotaan vasemmistoksi tai oikeistoksi muodostaisi 3-ulotteisen poliittisen pallon sisäisessä avaruudessa osin sisäkkäisen poliittisen aliavaruuden 3:ssa ulottuvuudessa.

Ulottuvuuksien määrä miettiessä pitäisi ottaa kantaa, mitkä seikat ovat perustavia poliittisia seikkoja, jottei pallo monimutkaistu turhaan liian moniulotteiseksi.

Näin puoluetta kuvatessa voisi tulkita lisäksi myös, voitaisiinko joissain seikoissa katsoa puolueen olevan poliittisesti sisäisesti ristiriitainen aatemaailmasssaan (onhan se toki muutenkin mahdollista, muttei erityisen täsmällisesti välttämättä – käsitteellisesti ehkä on, geometrisesti se tarkoittaisi janassa pistemäistä olemista janan eri paikoissa, mutta tämä ei välttämättä tarkoita ristiriitaa).

Identiteettialgebra osa 2

Identiteettialgebra

Osa 2: Etumerkki kertolaskussa

Korjattu 27.4.2018

Aiheen osa 1 on huomattavasti mielenkiintoisempi, sillä se käsittelee parittomuutta ja parillisuutta, mutta täydellisyyden vuoksi nyt osa 2. Ajatus siis on, että luvulla on identiteetti, joka koostuu kaksikosta {e, p}. Missä e viittaa etumerkkiin p parittomuuteen tai parillisuuteen.

Tässä harrastuspohjalta syntyneessä identiteettialgebrassa sellaisenaan etumerkkitarkastelu voidaan tehdä vain kertolaskulle, koska vähennys- ja yhteenlaskussa pitäisi ottaa kantaa varsinaisten lukujen suuruuteen.

Numeerisesti etumerkki "koodataan" numeroilla 1 ja 2, 1 tarkoittaa negatiivista, 2 positiivista. Numerot noudattavat negatiivisen etumerkin logiikkaa: Arkisesti sanottuna kaksi miinus-merkkiä perättäin tekee positiivisen luvun, yksi negatiivisen.

1. Kaava etumerkille kertolaskussa

Etumerkki määritetään kaavalla

2 - sum(e) Mod 2

missä e on etumerkkiin liittyvien identiteettiarvojen (1 tai 2) summa. Summattavia on yhtä monta, kuin tulossa on tekijöitä.

Täydellisyyden vuoksi todettakoon, että tässä tulon tekijöitä on äärellinen määrä.

1.1. Esimerkkejä

Esimerkeissä parittomuuta tai parillisuutta merkitään vain p:llä.

Olkoon a negatiivinen ja b negatiivinen.

Nyt tulo ab = {2 - (1 + 1) mod 2, p} = {2, p}. Positiivinen.

Olkoon a, b positiivisia, c negatiivinen.

Tulo abc = {2, p}{2, p}{1, p} = {2 – (2 + 2 + 1) mod 2, p} = {2 – 5 mod 2, p} 

= {1, p}. Negatiivinen.

Olkoon a,b,c positiivisia ja d negatiivinen.

Nyt tulo abcd = {2, p}{2, p},{2, p}{1, p} = {2 – (2 + 2 + 2 + 1) mod 2, p}

= {2 – 7 mod 2, p} = {2 – 1, p} = {1, p}. Negatiivinen.

Olkoon a,b,c,d positiivisia.

Nyt tulo abcd = {2, p}{2, p}{2, p}{2, p} = {2 - 8 mod 2, p} = {2, p}. Positiivinen.

Olkoon a,b,c negatiivisia.
Nyt tulo abc = {1, p}{1, p}{1, p} = {2 - 3 mod 2, p} = {2 - 1, p} = {1, p}. Negatiivinen

Image courtesy of digitalart at FreeDigitalPhotos.net

1.2. Ristiriita, mikä syntyy, jos nolla on positiivinen

Olkoon a = 0 ja positiivinen sekä b negatiivinen.

Nyt tulo ab = {2, p}{1, p} = {2 – (2 + 1) mod 2, p} = {2 – 1, p} = {1, p}. Negatiivinen.

Siis varsinaisten lukujen joukossa tulo olisi negatiivinen nolla, koska nyt tulo on negatiivinen. Tämä on ristiriita nollan ”nollaamis”-ominaisuuden kanssa; nolla nollaa koko luvun identiteetin; tulo on "vain" nolla.

1.3. Ristiriita, mikä syntyy, jos nolla on negatiivinen

Olkoon a = 0 ja negatiivinen sekä b positiivinen, c negatiivinen.

Nyt tulo abc = {1, p}{2, p}{1, p} = {2 – (1 + 2 + 1) mod 2, p} = {2 – 4 mod 2, p}

= {2 – 0, p} = {2, p}. Positiivinen.

Nyt varsinaisten lukujen joukossa nollan käyttäytyminen negatiivisena lukuna johtaisi positiiviseen nollaan. Kohdassa 1.2 syntyi ristiriita, jos nolla on positiivinen.

Tässäpä tämä. Jos ei muuta, niin jotain kuriositeettiarvoa tällä mahdollisesti on...

Luethan myös aiheen osan 1 parittomuudesta ja parillisuudesta.

Zenon ja liikkeen mahdottomuus

Miksi Zenon todella sanoi, että liike on mahdotonta?

Elealaisen koulukunnan (perustettu n. 400 eaa.) mukaan totuuteen ei tulla aistien välittämillä tiedoilla, sillä ne kuvastavat meille vain moneutta ja olioiden muttumista. Järki ja ajatteleminen johtavat ihmistä varsinaiseen totuuteen, joka on tiedossa tosiolevaisesta, ykseydestä ja muuttumattomasta. Elealaiset pitivät matemaattista ja ideellistä totuutta tosiolevaisina, jota vastoin empiirinen maailma oli oikeastaan harhanomaista.

Zenon Elealainen puolusti elealaisen koulukunnan tavanoamisia ajatustottumuksia vastaan olevia ajatuksia osoittamalla, että on myös matemaattinen todellisuus, jota vain järki ymmärtää. Zenon tahtoi epäsuoralla todistuksella osoittaa, että ykseyden oleminen ilman liikettä on tosiolevaista. Sillä jos edellytetään, että on olemassa moneutta ja liikettä, joudutaan ristiriitaan.

Kuuluisa esimerkki on pikajuoksijasankari Akhilleuksen kilpajuoksu kilpikonnan kanssa, missä kilpikonna starttaa pisteestä P₁, Akhilleus pisteestä P₀, Zenonin mukaan Akhilleus ei pisteiden äärettömyyden (matemaattinen todellisuus) vuoksi voi voittaa kilpikonnaa kilpajuoksukisassa.

"Dog Chasing To Man at Sunset"

Image courtesy of Vlado at FreeDigitalPhotos.net

Matemaattisessa todellisuudessa koira ei saisi miestä kiinni, empiirisessä todellisuudessa tilanne voikin jo olla toinen...

Kirjoitus perustuu ”Mitä tiedämme äärettömästä?”-kirjaan. Kirjoittanut FT U. Saarnio.

Identiteettialgebra osa 1

Identiteettialgebra

Osa 1: Parittomuus ja parillisuus

Esittelen tässä blogikirjoituksessa omalta harrastuspohjalta syntyneen ns. identiteettialgebran. 

Ajatuksena on, että luvulla on identiteetti, joka koostuu kaksikosta {e, p}, missä e tarkoittaa etumerkkiä, p parittomuutta tai parillisuutta.

Tässä kirjoituksessa siis pitäydytään parittomuus- ja parillisuustarkateluissa ainoastaan.

Luku p voi saada arvot 1 ja 2, luvun yhden tarkoittaessa paritonta ja luvun 2 parillista. Tarkasteluissa ei (välttämättä) tarvitse tietää lukujen numeerisisa arvoja, vain ovatko ne lähtökohtaisesti parittomia vai parillisia. Yhteenlaskussa lukujen on oltava joko negatiivisia tai positiivisia.

Vielä p:n numeerisista arvoista: 1 on luonnollisten lukujen joukossa pienin perustavasti pariton kokonaisluku, 2 pienin parillinen luku

1. Kertolasku

1.1. Kaava parittomuuden tai parillisuuden määrittämiseen kertolaskussa

Parillisuuden tai parittomuuden antaa tulossa t kaava

2 – t' mod 2

missä t' on varsinaisten lukujen p-tulo (parittomuuteen tai parillisuuteen viittaava identiteettiarvojen, 1 tai 2 tulo).

1.1.1. Esimerkkejä

Esimerkeissä etumerkkiä merkitään vain e:llä.

Olkoon a pariton, b, c parillisia.

Tulo abc = {e, 1}{e, 2}{e, 2} = {e, 2 – (1 * 2 * 2) mod 2} = {e, 2}. Parillinen

Olkoon a, b parittomia, c parillinen.

Tulo abc = {e, 2 – (1 * 1 * 2) mod 2} = {e, 2 – 0} = {e, 2}. Parillinen.

Olkoon a pariton, b parillinen.

Tulo ab = {e, 2 – (1 * 2) mod 2} = {e, 2 – 0} = {e, 2}. Parillinen.

Olkoon a, b pariton.

Tulo ab = {e, 2 – (1 * 1) mod 2} = {e, 2 – 1} = {e, 1}. Pariton.

Tulkinta nollasta (0) voi olla vaarallinen, koska nollalla on vahva nollaamisominaisuus: Nolla identiteetistä tulee vallitseva.

Esimerkki: Olkoon a = 0 parillinen, b pariton. Tulo ab = 0.

p-tarkastelussa tulo ab = {e, 2 – (2 * 1) mod 2} = {e, 2}. Parillinen.

Nolla on kuitenkin erikoistapaus, kirjaimellisesti oma lukunsa, eikä identieettialgebran tulosta voi oikeuttaa nollalle, siis, että nolla olisi parillinen. Tässä nollan ”parillisuutta” voi pitää oleellisesti keinotekoisena.

2. Parillisuus ja parittomuus yhteenlaskussa

2.1 Kaava yhteenlaskun parillisuuden määrittämiseksi

Merkitään p =: pariton, p' =: parillinen. Sum(p) tarkoittaa parittomien identiettien summaa, vastaavasti sum(p').

2 – (sum(p) + sum(p')) mod 2

2.1.1. Esimerkkejä

Luvut oletetaan positiivisiksi kokonaisluvuiksi. Selvyyden vuoksi etumerkki jätetään numeerisena ilmaisematta.

Olkoon a pariton, b,c parillisia

Summa a + b + c = {e, 1} + {e, 2} + {e, 2} = {e, 2 – (1 + 2 + 2) mod 2} = {e, 2 – 1}

= {e, 1}. Pariton.

Olkoon a,b parittomia. Summa a + b = {e, 2 – (1 + 1) mod 2} = {e, 2}. Parillinen.

Olkoon a parillinen, b pariton. Summa a + b = {e, 2 – (2 + 1) mod 2)} = {e, 2 – 1} = {e, 1}. Pariton.

Olkoon a,b,c parittomia, d,e parillisia.

Summa a + b + c + d + e = {e, 2 – (1 + 1 + 1 + 2 + 2) mod 2} = {e, 2 – 1} = {e, 1}. Pariton.

Olkoon a,b,c parillisia, d,e parittomia.

Summa a + b + c + d + e = {e, 2 – (2 + 2 + 2 + 1 + 1) mod 2} = {e, 2 – 0} = {e, 2}. Parillinen.

Koska nolla on neutraalialkio yhteenlaskussa, voi tuloksia nollan osalta pitää keinotekoisina, jos siihen liitetään parittomuus tai parillisuus. Jos nolla oletettaisiin parittomaksi, saataisiin ristiriita.

Ehkä tällä on jotain kuriositeettiarvoa. Sikäli kun tämä aihe on jatkokehityskelpoinen, jotain kuriositeettiä suurempaakin arvoa voi löytyä... Tai sitten vain suurempi kuriositeetti. :-)

Nolla ei ole negatiivinen tai positiivinen

Nolla ei ole negatiivinen tai positiivinen

Annan tässä kirjoituksessa vaatimattoman perusteluni puoltaen nollan neutraalisuutta etumerkin suhteen.

Ohessa formaali tarkastelu liittyen nollan neutraalisuuteen etumerkin suhteen:

Lause 1: Positiivinen luku kerrottuna negatiivisella luvulla on negatiivinen.

Todistus: Sivuutetaan tässä.

Oletus: Nolla on positiivinen.

Tarkastelu.

Olkoon luvut a,b eri lukuja. Olkoon a positiivinen ja b negatiivinen. Nyt Lauseen 1 mukaan ab < 0.


Olkoon a = 0 ja b ≠ 0 ja negatiivinen luku. Oletuksesta seuraa ab = 0. Oletuksen mukaan 0 on positiivinen, mutta ei voi olla ab = 0 < 0 (Lause 1: ab < 0). Siis a = 0 ei ole positiivinen, koska ei voi olla 0 < 0.

Lause 2: Negatiivinen luku kerrottuna negatiivisella luvulla on positiivinen.

Todistus: Sivuutetaan tässä.


Oletus: Nolla on negatiivinen.

Tarkastelu.

Olkoon a ja b positiivisia sekä a ≠ b. Nyt -a ja -b ovat negatiivisia. Tulo (-a)(-b) = ab on positiivinen; ab > 0. Jos nyt jompikumpi luvuista on nolla (0), saadaan:
ab = 0. Ei voi olla ab > ab = 0 eli 0 > 0. Siis nolla ei ole negatiivinen.

Jos nolla on negatiivinen tai positiivinen ei vertailuoperaattoria voi ylipäätään käyttää käyttämällä lukua 0 vertailukohtana positiivisuuteen tai negatiivisuuteen aina; nollan täytyy olla neutraali.

Ylipäätään jos jokin on > 0, niin se on positiivinen; ei riitä että jokin = 0; nolla on neutraali.

Nollan pitäminen sopimusluonteisesti "semi-positiivisena" on sopimus, jota olisi syytä tarkistaa, koska matemaattis-filosofisesti nolla ei kuvaa kokonaisena esim. mitään lukumäärää. Ylipäätään nollan roolia kokonaislukuna olisi syytä tarkistaa, edelleen erityisesti sen positiivisuutta.