Tekstit

Blogitekstisuositus

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan johtaminen

-
Kuva
Toisen asteen yhtälön yleisen ratkaisukaavan johtaminen derivaatan avulla Päivitetty 3.2.2020 Toisen asteen yhtälön yleinen muoto on ax 2 + bx + c = 0 Siltä varalta, että unohtaa ratkaisukaavan on hyvä oppia kuinka helppoa yleisen ratkaisukaavan johtaminen on. Vakio c vain siirtää käyrää  xy -tasossa pystysuunnassa. Tarvitsemme siis johtamiseen yleisen tapauksen derivaattaa, mikä on  2 ax + b = 0 . Katsotaanpa paraabelien  x 2  ja - x 2   kuvaajia: Huomaamme, että y-akselilla paraabeleilla on tuplajuuri. Samassa kohdassa selvästi käyrien derivaatta on nolla. Koska kaavan johtamisessa käytetään derivaattaa, on sen ymmärtäminen olennaista koko asian ymmärtämisessä. Tarkastellaan vielä graafia, jossa on paraabeli  x 2   - 2 x  ja sen derivaatan 2 x  - 2 kuvaajat: Paraabelin derivaatan nollakohta on kohdassa  x  = 1. Paraabelin nollakohdat ovat kohdissa  x  = 0 ja  x  = 2. Tästä nähdään erinomaisesti paraabelin nollakohtien ja
Lue lisää

Nolla ja parittomuus sekä parillisuus

-
Kuva
Nolla ja parittomuus sekä parillisuus Päivitetty 30.8.2019 Kokoan tässä kirjoituksessa lyhyesti yhteen filosofisesti ottaen, mitä olen aiemmin halunnut sanoa nollan parittomuudesta ja parillisuudesta. Miksi en katso nollan olevan parillinen tai pariton? Kysymys on olemassaolokysymyksestä. Nolla ilmaisee lukumäärän ei yhtään . Jos jotain on pariton määrä, jotain on olemassa. Erityisesti eri määrä kuin ei yhtään. Vastaavasti, jos jotain on parillinen määrä, jotain on olemassa, eri määrä kuin ei yhtään, näkemykseni mukaan vähintään 2. Kahdellahan se parillisuus testataan, eikä esimerkiksi nollalla. Lyhyesti, jos jotain on pariton määrä, jotain on olemassa vähintään 1 yksikköä, jos jotain on olemassa parillinen määrä, jotain on olemassa vähintään 2 yksikköä. Jos jotain on ei yhtään , mitään ei tässä kontekstissa ole olemassa, joten ei yhtään on neutraali parittomuuden ja parillisuuden näkökulmasta. Siis esitän: Nolla olisi neutraali, ei pariton tai parillinen. Ly
Lue lisää

Onko absoluuttista totuutta olemassa?

-
Kuva
Onko absoluuttista totuutta olemassa? Mennään taas filosofisemmalle puolelle.. Käyn ajatukseni dialogin kautta läpi. Olkoon meillä kaksi keskustelijaa olkoot nämä "filosofi" ja "minä vaan". Filosofin paikalle voi ihan vapaasti sijoittaa vaikkapa "minä vaan 2"-persoonan, esimerkiksi. Dialogi alkakoon johdannolla. Tiedon määritelmä: Tieto on hyvin perusteltu tosi uskomus. Minä vaan: Onko tieto mahdollista? Filosofi: Ei. Minä vaan: Onko se absoluuttinen totuus? Filosofi: Ei, absoluuttisia totuuksia ei ole. Minä vaan: Mutta jos se ei ole absoluuttinen totuus, niin eikö kuitenkin jää "pelivaraa", että tieto olisi mahdollista, koska nyt tiedon mahdollisuus on kumottu "lievemmällä" totuudella? Filosofi: Miten niin lievemmällä totuudella? Minä vaan: Eikö se sitten edes ollut totta, totuus, että tieto ei ole mahdollista? Filosofi: Absoluuttisia totuuksia ei ole ja sillä selvä! ..ja matematiikkakin on
Lue lisää

Onko matematiikan kirjoissa matematiikkaa?

-
Kuva
Onko matematiikan kirjoissa matematiikkaa? Mitä Platon sanoo matematiikasta tiedon lajina? Miten tämä suhteutuu siihen, onko luonnossa matematiikkaa? Erityisesti, onko matematiikan kirjoissa matematiikkaa? Tässä kirjoituksessa olevat lainaukset ovat kirjasta Platon , kirjoittanut alunperin Valentin Asmus, joka oli neuvostoliittolainen filosofi, syntynyt 1894. Tarpeellisena johdantona seuraava lainaus mainitusta kirjasta: ” Mielipide ei ole tietämättömyyttä, mutta ei myöskään tietoa; se on tietoa hämärämpi ja tietämättömyyttä kirkkaampi ( Valtio, V, 478 C – D ).” Seuraavassa pallolla varustetut kappaleet ja samassa sisennyksessä olevat ovat suoria lainauksia kirjasta. Asian vierestä asiaan: ”Ideat” saavutetaan ainoastaan tiedon avulla ja tieto on mahdollista vain ideoiden suhteen. (Kyse on elealaisen opin kehittelystä, joka katsoo, että järjellä käsitetään tosiolevainen ja vain se.) ...matemaattisiin kohteisiin suuntautuneella pohdiskelulla on Platonin mielestä
Lue lisää

Lyhyesti vielä aiheesta "Onko luonnossa matematiikkaa?"

-
Kuva
Lyhyesti vielä aiheesta "Onko luonnossa matematiikkaa?" Jos lähdetään siitä, että matematiikka on tosiolevaista, niin Platonia tulkiten ihmisen aistein havaitsemassa luonnossa ei ole mitään tosiolevaista, tässä erityisesti ei matematiikkaa. Platonin mukaan aistein havaittavissa oleva edustaa vain ”varjoja” tosiolevaisesta, mikä on vain järkiperäisesti saavutettavissa olevaa. Tosiolevainen ja aistein havaittava ”varjojen” maailma ovat kaksi eri maailmaa. Päästäkseni Ludwig Wittgensteiniin, palaan vielä kysymykseen: Onko tässä kirjoituksessa numeroa seitsemän, 7? Ei, tässä kirjoituksessa ei ole numeroa seitsemän, 7, ainoastaan looginen esitys numerosta seitsemän. Vastaava idea pätee yleisesti luontoon, mitä voi siis pitää Platonia tulkiten ”varjojen” tai muuttuvien olioiden maailmana, missä ei ole mitään tosiolevaista. Aistimellisia olioita ei Platonin mukaan tavoiteta järjellä; niitä kohtaan oleva tieto  ei ole järkiperäisesti mahdollista kuin ainoasta
Lue lisää

Miksi katson, että tyhjä joukko ei ole ei-mitään?

-
Kuva
Miksi katson, että tyhjä joukko ei ole ei-mitään? Kirjoitin tässä taannoin aiheesta tarvitaanko uusi ”joukko” – tyhjää joukkoakin tyhjempi joukko. Mitä siis tarkoitin? Perustan ajatukseni vanhaan filosofiaani: Tyhjyyden voi luoda. Seikkaa ei-mitään ei voi luoda; siitä luominen alkaa . Kiikussa istuvien ihmisten joukko on tyhjä Tarkastellaan pientä joukkoa: J = { Ø , 1, 2}. Kun tästä joukosta poistetaan alkiot 1 ja 2, jäljellä on tyhjä joukko (tyhjä joukko on jokaisen ei-tyhjän joukon osajoukko). Tässä olemme luoneet tyhjyyden, poiston jälkeen J = { Ø }. Ajattelen siis seikan ei-mitään olevan jotain, johon ei päädytä millään joukko-opillisella vähentämisellä (tai leikkauksella). Se on ennen tyhjää joukkoa. Se ei voi esiintyä minkään joukko-opin kontekstin olevaisen -- ei edes tyhjän joukon -- kanssa yhtä aikaa näiden olevaisessa kontekstissa. Kun mitä hyvänsä on olemassa, vaikka sitten vain tyhjyys, ei ei-mitään voi olla osa tätä, koska se oli ennen olevaista
Lue lisää

Online binäärijärjestelmästä 10-järjestelmään konvertteri

-
Kuva
Online binäärijärjestelmästä 10-järjestelmään (ja päinvastoin) konvertteri Olen opiskellut koko yön. Klo 1:n aikoihin ajattelin, että menisin nukkumaan, mutta jatkoin tehtävien tekemistä... Tehtävien tiimoilta tein oheiset konvertterit JavaScriptillä: Valitse muunnoksessa luvun koko: 8 bit 16 bit 32 bit Positiiviset luvut Anna 10-järjestelmän positiivinen luku Konvertoi Anna binäärijärjestelmän positiivinen luku Konvertoi Negatiiviset luvut Anna negatiivinen 10-järjestelmän luku Konvertoi Anna binäärijärjestelmän negatiivinen luku Konvertoi Huomautettakoon, että negatiiviset binääriluvut annetaan kahden komplementtiesityksenä. Laitoin joitain relevantteja tarkistuksia lukujen syöttämisen yhteyteen, mutten ole ottanut huomioon kaikkea mahdollista... Satunnaista kävijää voisin ohjeistaa sen verran, että negatiivisissä binääriluvuissa etumerkin ilmaisee eniten merkitsevä bitti (vasemman puoleisin). Sen ollessa ykkönen, luku voidaan tulkita ne
Lue lisää

Online 10-järjestelmästä 16-järjestelmään konvertteri

-
Kuva
Online 10-järjestelmästä 16-järjestelmään (ja päinvastoin) konvertteri Kirjoitin taannoin lukujärjestelmämuunnoksista . Yön yli kirjoitettu teksti sekä sen sisältämät ohjelmat ovat osin näin jälkeen päin katsottuna nukkumattoman yön näköisiä. Tähän kirjoitukseen on liitettynä tänä aamuna tekemäni konvertteri 10-järjestelmästä 16-järjestelmään ja päinvastoin JavaScriptillä. Anna 10-järjestelmän luku Konvertoi Anna 16-järjestelmän luku Konvertoi JavaScriptissä 16-järjestelmästä 10-järjestelmään konvertoinnin saa suoraan parseInt-metodilla eli tuossa virityksessäni ylemmän tuloksen voi tarkistaa alemmalla konvertterilla. 😃 JavaScript-koodi on hieman parempi kuin taannoin kirjoittamassani C-kielisessä virityksessä. Mainittakoon lisäksi taannoin kirjoittamani Lukujärjestelmämuunnoksista-artikkelin negatiivisista binääriluvuista muutama sananen. Tarkistin, että muunnos negatiiviseksi binääriluvuksi tuottaa kahden komplementtiesityksen. Huomattava
Lue lisää

Omia fraktaaliluomuksia

-
Kuva
Omia fraktaaliluomuksia Sivuutan tässä matemaattis-tekniset yksityiskohdat ja tyydyn tuomaan esiin vain kolme kuvaa, kolme fraktaaliluomustani. Kaikki kolme perustuvat jotenkin samaan pohjaan ja ovat tehty JavaScript-ohjelmalla. Kilkkaa kuvia suuremmiksi. Sitten vielä eräs "sekava" fraktaali: En vieläkään ole löytänyt aikaa miettiä näitä tarkemmin..
Lue lisää

Humoristista prosenttilaskua

-
Kuva
Arkista humoristista prosenttilaskua Olkoon tuotteen hinta €100. Tuotteesta annetaan toistuvasti 10% alennus. Hinnan alentamisprossessia ei lopeteta koskaan, mutta siihen kuluu jokin äärellinen aika. Tuleeko äärellisessä ajassa hinnaksi koskaan tasan €0? Kuinka pienessä tai suuressa ajassa hyvänsä. Vastaushan on ilmeinen, mutta vähemmän matematiikkaan perehtynyt ei ehkä keksi vastausta heti. Hinnaksihan muodostuu  €100 * 0.9 * 0.9 * 0.9 * ... Siis loppumattomasti * 0.9:iä. Riittää tarkastella tuloa 0.9 * 0.9 * 0.9 * .... Jotta hinta olisi koskaan nolla, pitäisi tuosta tulosta tulla tasan 0. Kyseessä on suppeneva lukujono, jonka raja-arvo on nolla, mutta jos hinnanalennusprosessiin kuuluu mikä hyvänsä äärellinen aika (olipa tämä kuinka pieni hyvänsä), ei hinta äärellisessä (kuinka suuressa hyvänsä) ajassa napsahda nollaksi.
Lue lisää

Sanojen lukumäärä

-
Kuva
Sanojen lukumäärä Kirjaimia on äärellinen lukumäärä. Jos rajoitamme kirjainten lukumäärän sanoissa äärelliseen määrään kirjaimia, saamme suurimillaan aina äärellisen määrän sanoja. Jos yhdessä sanassa olisi ääretön määrä kirjaimia, ei tämän sanan kirjoittaminen loppuisi koskaan. Vastaavasti, jos oletamme, että olisi sana, jossa olisi äärettömän monta kirjainta ja äännettä, ei sanan lausuminen loppuisi koskaan. Jos sanan pituus on äärellinen ja jos kirjaimia tai merkkejä, joista sana voidaan muodostaa, on äärellinen määrä, on mahdollisten sanojen lukumäärä nyt aina äärellinen. Nyt esimerkiksi teoreettisten käsitteiden lukumäärä on äärellinen. On tietysti mahdollista muodostaa käsitteitä äärellisellä määrällä merkkejä matemaattiseen tyylin, jolloin vaikkapa yhdestä käsitteestä voitaisiin saada äärettömän monta alikäsitettä, tyylin  Käsite n n = 1, 2, 3...  . Erityisesti jos kyseessä olisi luonnollisen kielen käsite, ei eksplisiittisesti alikäsitteiden luettelemise
Lue lisää

Tarina oman pyhän geometrian Luojasta

-
Kuva
Tarina oman pyhän geometrian Luojasta 1. Piste Luojamme on kaikki tietävä ja kaiken näkevä, hän näkee myös ennalta, erityisesti hän näkee ennalta oman potentiaalinsa. Geometrisesti Luojamme on piste. Hän tunnisti paikan joka oli ei-mikään ei-missään, mutta kun hän itse sinne mielensä laittoi, ei-mikään muuttui tyhjyydeksi; tyhjyys sisälsi idean pisteestä, pisteestä, jolla ei ole kokoa, ”the magnitude of a point is zero”. Silti ei-mikään oli nyt väistynyt luomisen tieltä ja tilalla oli tyhjyys, jossa vain yksi piste systemaattisen harkitsevasti lymyilee. 2. Ensimmäinen liike Luojamme pystyy siis näkemään ennalta. Ennalta nähden hän laajentaa tietoisuutaan, mutta potentiaalinsa ymmärtäen tuloksena ei olekaan vain yksi ympyrä, vaan... 3. Itsensä kehittäminen Luojamme tunnistaessaan potentiaalinsa, Hän kehittää itseään ennen luomistyön alkua; ennalta nähden hän laajentaa tietoisuuttaan. Tuloksena on: 4. Varautuminen pahimman varalt
Lue lisää

Värillinen pythagoralainen puu

-
Värillinen pythagoralainen puu Tulevan joulun kunniaksi päätin julkaista jotain hauskaa. Kyseessä on värillinen pythagoralainen puu, jossa on symmetriaa hieman rikottu. Symmetrisessa tapauksessa on siis ideana aloittaa yhdestä suorakulmaisesta kolmiosta, mikä visuaalisesti ottaen makaa hypotenuusallaan. Kolmiossa on kaksi 45 asteen kulmaa ja yksi 90 asteen kulma. Jokaista sivua vasten piirretään neliö, neliön sivuun pituus kolmion sivun pituus. Puu haarautuu 45 asteen sivuja vasten piirrettyjen neliöiden myötä. Toteutuksessa kolmioita ei piirretä, vain neliöt. Ohessa JavaScript-viritelmä: Iteraatiot - Iteraatiot + Toivottavasti tämän parissa joulua on mukava odotella.
Lue lisää

Pascalin kolmio ja Fibonaccin lukujono

-
Kuva
Pascalin kolmio ja Fibonaccin lukujono Päivitetty 23.6.2020 Blaise Pascalin (1623 - 1662) nimeä kantaa Pascalin kolmio. Kolmio tunnettiin jo hänen aikaansa ennen, mutta Pascal otti kolmion moninaisissa käyttötarkoituksissa tositoimiin. Kolmio antaa binomille ( a + b ) n  kertoimet. Ohessa osa kolmiota: Binomille ( a + b ) 3  saisimme ohessa olevasta kolmiosta kertoimet a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 Eli kolmannen oasteen binomille löytyy siis kolmiosta kertoimet 1, 3, 3, 1. Ei tästä sen enempää, haluan tuoda tykö vinhan ehkä vähemmän tunnetun Pascalin kolmion ominaisuuden: Sen, kuinka se liittyy Fibonaccin lukujonoon. Ohessa kuva: Kun lähdemme kipuamaan huipusta kolmiota alas ja reunalta jälleen ylös päin, saamme Fibonaccin lukujonon, summaamalla luvut yhteen siten, että seuraava summattava löytyy viistosti seuraavalta riviltä, jos sellainen on. Tällä tavoin löytyy Pascalin kolmiosta tämä vinha yksityiskohta, Fibonaccin lukujono. Huomautet
Lue lisää