In English

This blog is written in Finnish and because of very big differences between Finnish and English languages, the translators may give and give (I have tested this) very strange translations. Some posts are posted on my personal English blog too.

maanantai 4. syyskuuta 2017

Nollalla jakamisesta

Virallisesta(?) perustelusta miksi nollalla ei voi jakaa


Eräässä suomenkielisessä YouTube-videossa selitettiin, miksi nollalla ei voi jakaa. Kyseinen perustelu toimii (jotenkin) kaikille muille luvuille paitsi nollalle (0), minkä tapauksessa perustelu johtaa mielettömyyteen.

Nolla ei ole siis ”tasa-arvoinen” tai tasaveroinen luku muiden lukujen kanssa, vaikka videossa niin väitetään. Jos siis nolla olisi tasaveroinen muiden lukujen kanssa, toimisi tämä perustelu myös nollalle itselleen.

Jos perustelu ei toimi nollalle itselleen, perustelua on syytä tarkistaa, minkä teemme tämän kirjoituksen lopussa.

Ongelma on, että liikkeelle lähdetään ilmaisusta, että jokin määrittelemätön jolle ei ole määriteltyä arvoa olisi ”jotain”. Tuolloin saadaan jokin tulos, epäilemättä jonkinlainen ristiriita, mutta koska lähtökohta on määrittelemätön, ei matemaattis-loogisesti epätosi tai tosi, niin saatu ”ristiriitakaan” ei ole tavanomaisessa merkityksessä ristiriita, jolloin saadun tai saatujen ”ristiriitojen” tulkinta on erilaista. Erityisesti saatu ristiriita ei ole riittävä perustelu nollalla jakamisen mahdottomuudelle.

Oleellista on nyt ymmärtää, että formaalisti voidaan nähdä ristiriitoja, mutta jotta voisi ymmärtää, mitä ne todella tarkoittavat, on asia nähtävä matemaattis-filosofisesti; muutoin varsinainen kysymyskään ei aukea.

Katsotaanpa nyt videon esimerkkiperustelu seikalle ”miksi nollalla ei voi jakaa”:

1/0 = jotain
jotain * 0 = 1
luku * 0 = 0
Ristiriita.

Nyt siis on oleellista huomata, että lähtökohta 1/0 ei ole matemaattis-loogisesti epätosi tai tosi vaan määrittelemätön, jolloin mitä nyt ”ristiriita” voi tarkoittaa? Voiko siitä sinällään tehdä mitään matemaattis-loogisia johtopäätöksiä? Ovatko ne riittäviä?

Nyt, jos käytämme perustelua tilanteelle 0/0, saamme (selvyyden vuoksi lähdetään liikkeelle murtolukuesityksestä):








Yllä oleva "on ekvivalentti" seuraaville (vaihe vaiheelta):

0 * 1 = jotain * 0
0 = jotain * 0

Pysähdymme tähän. Tilanteeseen 0 = 0, palaamme myöhemmin.

Viimeinen lauseke toteutuu, jos jotain on mikä hyvänsä joukon R luku, myös 0. Siis nyt esim. olisi voimassa 0/0 = 0, mikä johtaa ristiriitaan (aritmeettisessa tarkastelussa). Miksi?

Ymmärtämisen helpottamiseksi käyttäkäämme johdantona esimerkkinä 2. asteen yhtälöä, jolla on maksimissaan 2 juurta. Nämä eivät ole yhtä aikaa voimassa; riippuu, missä kohtaa reaaliakselia tarkastellaan, onko yhtälö tosi, jolloin ratkaisu on esim. x1 tai x2.

0/0-tarkastelussamme puolestaan ”ollaan samassa pisteessä, 0”, jossa jotain saisi kaikki reaalilukuarvot. ”Ratkaisussa” looginen konnektiivi olisi siis ja ei tai. Siis jotain voisi olla esim. 0 ja 2, mutta koska 0 ≠ 2, oltaisiin aritmeettisessa ristiriidassa.

On huomattava, että laskennallisesti saadaan ristiriita, mutta koska lähtökohta oli määrittelemätön, ei epätosi tai tosi, niin ristiriidan voidaan sanoa olevan itseasiassa ”erillään” lähtökohdasta, tarkemmin: riittämätön perustelu määrittelemättömälle.

Perustelusta huomaa selvästi, että ristiriitoja on ylinumeroituvasti äärettömän monta, minkä pohjalta voi otaksua, että lähtökohta, 0/0, on ”enemmän virheellinen tulos”, kuin tavanomaisessa mielessä ristiriita sinänsä.

Nähdäksemme selvästi miksi nolla ei ole ”tasa-arvoinen” tai tasaveroinen luku muiden lukujen kanssa, tarkastellaan nyt seuraavaa (lähtökohdasta sinällään asian näkee tosin triviaalisti suoraan):

Nyt, yllä
0 = jotain * 0 toteutuu siis kaikille reaaliluvuille. Entä jos jotain = 2? Saamme,
0 = 2 * 0 = 0
toisaalta nyt lähtökohtaisesti (lähtökohta on virhe), kun jotain = 2, lähtökohta on


Nyt, 2 * 0 = 0 * 1 = 0. Tulos on aritmeettisesti mielekäs tulos, mutta 0/0 ≠ 2, koska 0/0 on määrittelmätön. Edelleen tästä siis seuraa, että nolla ei ole ”tasa-arvoinen” tai tasaveroinen luku muiden lukujen kanssa! Jos olisi, seuraisi siitä siis esim. 0 = 2 = 3, mikä ei pidä paikkansa (ks. yllä).

Tässä on esimerkkitilanne, missä lähdetään ns. ”epätodesta” liikkeelle ja saadaan ”tosi”, mikä on itseasiassa ("jonkinlainen") ristiriita. Rautalangasta: 2 * 0 = 0 * 1 = 0 on tosi "totutussa" aritmeettisessa kontekstissa, mutta 0/0-kontekstissa ei itseasiassa epätosi vaan järjetön tulos, koska mm. 0/0 ≠ 0.

Lisäksi tästä huomaamme, että videossa esitettyä perustelua on syytä tarkistaa, koska siinä on käytetty nimenomaan nollaa (0) osana perustelua, mikä ei toimi tapaukselle 0/0.

Eräs sinänsä triviaali matemaattis-filosofinen vanha tuttu huomio, minkä tässä esitetty 0/0-pohtiminen lisäksi tuo tykö: ”Äärettömän monta” ja ”äärettömän suuri” ovat eri asioita. Esimerkiksi joukossa N on äärettömän monta lukua, mutta mikään niistä ei ole ääretön (ääretön ei ole ylipäätään luku).


Palatkaamme nyt tilanteeseen

0 = jotain * 0

Tämän kanssa ekvivalenttia on 0 = 0. On tietysti totta, että 0 = 0.

Nyt, jos olettaisimme, että todella emme voisi lähtökohtaisesti ymmärtää ollenkaan ilmaisua 0/0 ja päätyisimme formaalisti tilanteeseen 0 = 0 lopulta, tarkoittaisiko se, että 0/0 on matemaattis-loogisesti mielekäs, ”tosi”, ilmaisu, koska 0 = 0 on tosi?

Tärkeää on huomata, että jos lähtökohta on epämielekäs, mutta saadaan ”jotain totta”, tässä 0 = 0, niin vaaran paikkana on tulkita epämielekäs tulos mielekkääksi. Erityisen ongelmallista tässä esitetyssä perustelussa nollalla jakamisen ”kiellolle” on, että lähtökohtana käytetään määrittelemätöntä tulosta, mistä seuraa ”mitä vain”, mikä ei osoita sinällään muuta, kuin että lähtökohta sinänsä jo on virhe.

Laskutoimitukset äärettömään liittyen ovat ns. sopimuksia. Tapauksessa 0/0 voidaan sanoa olevan kysymys määrittelystä. Jos 0/0:sta lähdetään liikkeelle, saadaan loputtomasti virheitä, ongelmia. Perustelun lähtökohtana ei voi olla määrittelemätön ja alkaa perustelemaan aritmeettisesti ongelmaa, kun kysymyksessä on määritelmäkysymys. Aritmeettinen perustelu on selvästi riittämätön.



Kertauksen vuoksi: Pelkkä matemaattinen formaliikka ei ole matematiikkaa vaan laskentoa. Vasta matemaattis-filosofisella, avaralla näkemyksellä voi todella ymmärtää aitoja matemaattisia probleemoita ja lisäksi luoda uutta matematiikkaa.