In English

This blog is written in Finnish and because of very big differences between Finnish and English languages, the translators may give and give (I have tested this) very strange translations. Some posts are posted on my personal English blog too.

sunnuntai 15. lokakuuta 2017

Mitä seuraa epätodesta?

Mitä seuraa loogisesti epätodesta?

Ensimmäisenä matematiikan opiskeluvuotenani meille 1. vuoden opiskelijoille opetettiin, että kun oletus on tosi, on johdonmukaisessa päättelyssä lopputulema myös aina tosi. Epätodesta puolesta sanottiin, että sen seuraus on jotain epämääräistä, ei voida tietää, mitä siitä seuraa.

Johdatus tieteelliseen ajatteluun-kirjan mukaan epätodesta seuraa epätosi. On myös matemaattista logiikkaa käsitteleviä kirjoja, joissa sanotaan epätodesta seuraavan epätosi.

Taas kerran ”pizza-tilanne”. Mutta eiväthän nämä järki-ihmiset aivan väärässä voi olla! Eivät olekaan. Seuraavassa on oma selontekoni ”pizza-tilanteesta”.

Image courtesy of Master isolated images at FreeDigitalPhotos.net

Aidosti semanttisesti mielekkäiden sekä mielekkäästi määriteltyjen käsitteiden avaruudessa epätodesta seuraa aina epätosi. Mutta jos käsiteavaruuden käsitteet ovat ristiriitaisesti määriteltyjä ja/tai käsiteavaruus on muutoin sisäisesti ristiriitainen, voi epätodesta seurata tosi, vastaavasti todesta seurata epätosi.

Tuolloin on aika käyttää pesusientä ja pyyhekumia – tai back spacea. Paljon.

Jos käsitteet ovat alun alkuaan olleet epämääräisiä tai ajan saatossa käyneet epämääräisiksi, esim. eri käsitteet ovat ikään kuin liukuneet vastaamaan toisiaan, vaikka tarkoittavat eri asiaa, niin mistä se ensinnäkin kertoo? Ihmisen kielentajun heikentymisestä? Moraalin alentumisesta?

Lisäksi, mistä tiedämme ovatko alkuperäiset oletukset edes tosia vai ”tosia”, toisaalta epätosia vai ”epätosia”?

Ongelmallista epämääräisesti määritellyssä käsiteavaruudessa -- erityisesti sisäisesti ristiriitaisessa -- on, että sellaisesta voi nousta loogisia paradokseja, joita ei erityisesti matematiikassa pitäisi olla; sillä väitän, että niin kauan kuin matematiikassa on yksikään paradoksi, ilmentää tämä vain matematiikan epätäydellisyyttä, so. jossain on ”virhe” (tai ”virheitä”), so. epämielekkäitä lähtökohtia ja/tai aksioomia ja/tai määritelmiä. Tai sitten kyse yksinkertaisesti on virheestä tai virheistä (lisäksi).


Toisaalta voisin kysyä itseltäni paradoksien osalta: Olenko liian kielteinen paradoksien suhteen? Toisaalta jotenkin voin perustella kielteisyyteni.

keskiviikko 4. lokakuuta 2017

Kuinka epsilon on ymmäretty väärin VI

Kuinka epsilon on ymmärretty väärin (virallisessa) matematiikassa osa VI

Epsilonista opetettua (kertaus on opintojen äiti):

(1) epsilon on mielivaltaisen pieni aidosti positiivinen reaaliluku
(2) epsilonille ei saa asettaa alarajaa

Seuraava liittyy erityisesti kontekstiin [0, Ɛ].


(1) Mikä hyvänsä reaaliluku > 0 voidaan jakaa ad infinitum pienemmäksi aina, kun jakaja on äärellinen ( > 1) => missä hyvänsä ad infinitum tapahtuvassa jaossa voidaan löytää kahden mielivaltaisen toisiaan lähellä olevan reaaliluvun ( > 0) välistä reaalilukuja > 0 ad infinitum, kun jakaja on äärellinen ( > 1).

=> epsilon menettää merkityksensä, jos epsilonia voidaan jakaa ad infinitum

Voidaan tosin ajatella, että epsilon itsessään olisi ”valmiiksi jaettu pienin väli” minkä hyvänsä reaaliluvun välillä, so. epsilon ei ole aidosti positiivinen reaaliluku, reaaliluku ylipäätään. Tätäkään tulkintaa en pitäisi mielekkäänä.

Yllä olevassa on oleellista ymmärtää, että jos epsilonia voidaan jakaa ad infinitum, se ei tarkoita vain, että reaalilukuja olisi loputtomasti ”kahden mielivaltaisen toisiaan lähellä olevan reaaliluvun välillä”, vaan että välejä olisi esim. välillä [0, Ɛ] ad infinitum, joilla kullakin olisi ylinumeroituvasti äärettömän monta reaalilukua.

Tämä siis johtuu yksinkertaisesti siitä, että kun ei ole olemassa suurinta äärellistä jakajaa > 1, niin osamäärä on aina äärellinen > 0. Esim. aina saadun uuden osavälin välillä [0, Ɛ] voisi jakaa loputtomasti saaden jokaiseen väliin ad infinitum reaalilukuja. Tämä on yksinkertaisesti seuraus epsilonin itsensä jakamisesta, lopultakin...

(1) => (2) ei tarkoita mitään.

Image courtesy of Stuart Miles at FreeDigitalPhotos.net

Vastaavasti kuin edellisessä postauksessani tuli esiin, että jos ”totuus”, esimerkissä aritmetiikka, perustettaisiin 0/0:aan, näyttäisi että kaikki on oikein ja loogista, vaikka kyseessä olisi järjettömyys. Nyt, erityisesti:

Kaikki epsilon-todistukset ovat lopulta jollain (mielekkäällä) tulkinnalla kehäpäätelmiä.

Ei kannata miettiä mitään epsilon-hölynpölyä, jos nolla (0) on vielä vuonna 2017 väärin ymmärretty, monin tavoin (tai puutteellisesti). Haistan palaneen käryä...


Päivitys vielä (ymmärtämisen helpottamiseksi):

Olipa reaaliluku > 0 kuinka pieni hyvänsä, osamäärä on aina > 0, jos jakaja on äärellinen. Reaalilukujen joukossa ei ole suurinta lukua, jakaja voi kasvaa loputtomasti...

maanantai 4. syyskuuta 2017

Nollalla jakamisesta

Virallisesta(?) perustelusta miksi nollalla ei voi jakaa


Eräässä suomenkielisessä YouTube-videossa selitettiin, miksi nollalla ei voi jakaa. Kyseinen perustelu toimii (jotenkin) kaikille muille luvuille paitsi nollalle (0), minkä tapauksessa perustelu johtaa mielettömyyteen.

Nolla ei ole siis ”tasa-arvoinen” tai tasaveroinen luku muiden lukujen kanssa, vaikka videossa niin väitetään. Jos siis nolla olisi tasaveroinen muiden lukujen kanssa, toimisi tämä perustelu myös nollalle itselleen.

Jos perustelu ei toimi nollalle itselleen, perustelua on syytä tarkistaa, minkä teemme tämän kirjoituksen lopussa.

Ongelma on, että liikkeelle lähdetään ilmaisusta, että jokin määrittelemätön jolle ei ole määriteltyä arvoa olisi ”jotain”. Tuolloin saadaan jokin tulos, epäilemättä jonkinlainen ristiriita, mutta koska lähtökohta on määrittelemätön, ei matemaattis-loogisesti epätosi tai tosi, niin saatu ”ristiriitakaan” ei ole tavanomaisessa merkityksessä ristiriita, jolloin saadun tai saatujen ”ristiriitojen” tulkinta on erilaista. Erityisesti saatu ristiriita ei ole riittävä perustelu nollalla jakamisen mahdottomuudelle.

Oleellista on nyt ymmärtää, että formaalisti voidaan nähdä ristiriitoja, mutta jotta voisi ymmärtää, mitä ne todella tarkoittavat, on asia nähtävä matemaattis-filosofisesti; muutoin varsinainen kysymyskään ei aukea.

Katsotaanpa nyt videon esimerkkiperustelu seikalle ”miksi nollalla ei voi jakaa”:

1/0 = jotain
jotain * 0 = 1
luku * 0 = 0
Ristiriita.

Nyt siis on oleellista huomata, että lähtökohta 1/0 ei ole matemaattis-loogisesti epätosi tai tosi vaan määrittelemätön, jolloin mitä nyt ”ristiriita” voi tarkoittaa? Voiko siitä sinällään tehdä mitään matemaattis-loogisia johtopäätöksiä? Ovatko ne riittäviä?

Nyt, jos käytämme perustelua tilanteelle 0/0, saamme (selvyyden vuoksi lähdetään liikkeelle murtolukuesityksestä):







Yllä oleva "on ekvivalentti" seuraaville (vaihe vaiheelta):

0 * 1 = jotain * 0
0 = jotain * 0

Pysähdymme tähän. Tilanteeseen 0 = 0, palaamme myöhemmin.

Viimeinen lauseke toteutuu, jos jotain on mikä hyvänsä joukon R luku, myös 0. Siis nyt esim. olisi voimassa 0/0 = 0, mikä johtaa ristiriitaan (aritmeettisessa tarkastelussa). Miksi?

Ymmärtämisen helpottamiseksi käyttäkäämme johdantona esimerkkinä 2. asteen yhtälöä, jolla on maksimissaan 2 juurta. Nämä eivät ole yhtä aikaa voimassa; riippuu, missä kohtaa reaaliakselia tarkastellaan, onko yhtälö tosi, jolloin ratkaisu on esim. x1 tai x2.

0/0-tarkastelussamme puolestaan ”ollaan samassa pisteessä, 0”, jossa jotain saisi kaikki reaalilukuarvot. ”Ratkaisussa” looginen konnektiivi olisi siis ja ei tai. Siis jotain voisi olla esim. 0 ja 2, mutta koska 0 ≠ 2, oltaisiin aritmeettisessa ristiriidassa.

On huomattava, että laskennallisesti saadaan ristiriita, mutta koska lähtökohta oli määrittelemätön, ei epätosi tai tosi, niin ristiriidan voidaan sanoa olevan itseasiassa ”erillään” lähtökohdasta, tarkemmin: riittämätön perustelu määrittelemättömälle.

Perustelusta huomaa selvästi, että ristiriitoja on ylinumeroituvasti äärettömän monta, minkä pohjalta voi otaksua, että lähtökohta, 0/0, on ”enemmän virheellinen tulos”, kuin tavanomaisessa mielessä ristiriita sinänsä.



Nähdäksemme selvästi miksi nolla ei ole ”tasa-arvoinen” tai tasaveroinen luku muiden lukujen kanssa, tarkastellaan nyt seuraavaa (lähtökohdasta sinällään asian näkee tosin triviaalisti suoraan):

Nyt, yllä
0 = jotain * 0 toteutuu siis kaikille reaaliluvuille. Entä jos jotain = 2? Saamme,
0 = 2 * 0 = 0
toisaalta nyt lähtökohtaisesti (lähtökohta on virhe), kun jotain = 2, lähtökohta on


Nyt, 2 * 0 = 0 * 1 = 0. Tulos on aritmeettisesti mielekäs tulos, mutta 0/0 ≠ 2, koska 0/0 on määrittelmätön. Edelleen tästä siis seuraa, että nolla ei ole ”tasa-arvoinen” tai tasaveroinen luku muiden lukujen kanssa! Jos olisi, seuraisi siitä siis esim. 0 = 2 = 3, mikä ei pidä paikkansa (ks. yllä).

Tässä on esimerkkitilanne, missä lähdetään ns. ”epätodesta” liikkeelle ja saadaan ”tosi”, mikä on itseasiassa ("jonkinlainen") ristiriita. Rautalangasta: 2 * 0 = 0 * 1 = 0 on tosi "totutussa" aritmeettisessa kontekstissa, mutta 0/0-kontekstissa ei itseasiassa epätosi vaan järjetön tulos, koska mm. 0/0 ≠ 0.

Lisäksi tästä huomaamme, että videossa esitettyä perustelua on syytä tarkistaa, koska siinä on käytetty nimenomaan nollaa (0) osana perustelua, mikä ei toimi tapaukselle 0/0.

Eräs sinänsä triviaali matemaattis-filosofinen vanha tuttu huomio, minkä tässä esitetty 0/0-pohtiminen lisäksi tuo tykö: ”Äärettömän monta” ja ”äärettömän suuri” ovat eri asioita. Esimerkiksi joukossa N on äärettömän monta lukua, mutta mikään niistä ei ole ääretön (ääretön ei ole ylipäätään luku).


Palatkaamme nyt tilanteeseen

0 = jotain * 0

Tämän kanssa ekvivalenttia on 0 = 0. On tietysti totta, että 0 = 0.

Nyt, jos olettaisimme, että todella emme voisi lähtökohtaisesti ymmärtää ollenkaan ilmaisua 0/0 ja päätyisimme formaalisti tilanteeseen 0 = 0 lopulta, tarkoittaisiko se, että 0/0 on matemaattis-loogisesti mielekäs, ”tosi”, ilmaisu, koska 0 = 0 on tosi?

Tärkeää on huomata, että jos lähtökohta on epämielekäs, mutta saadaan ”jotain totta”, tässä 0 = 0, niin vaaran paikkana on tulkita epämielekäs tulos mielekkääksi. Erityisen ongelmallista tässä esitetyssä perustelussa nollalla jakamisen ”kiellolle” on, että lähtökohtana käytetään määrittelemätöntä tulosta, mistä seuraa ”mitä vain”, mikä ei osoita sinällään muuta, kuin että lähtökohta sinänsä jo on virhe.

Laskutoimitukset äärettömään liittyen ovat ns. sopimuksia. Tapauksessa 0/0 voidaan sanoa olevan kysymys määrittelystä. Jos 0/0:sta lähdetään liikkeelle, saadaan loputtomasti virheitä, ongelmia. Perustelun lähtökohtana ei voi olla määrittelemätön olettamalla sille jokin arvo ja alkaa perustelemaan aritmeettisesti ongelmaa, kun kysymyksessä on määritelmäkysymys. Aritmeettinen perustelu on selvästi riittämätön.



Kertauksen vuoksi: Pelkkä matemaattinen formaliikka ei ole matematiikkaa vaan laskentoa. Vasta matemaattis-filosofisella, avaralla näkemyksellä voi todella ymmärtää aitoja matemaattisia probleemoita ja lisäksi luoda uutta matematiikkaa.

tiistai 8. elokuuta 2017

Kuinka epsilon on ymmärretty väärin V

Kuinka epsilon on (virallisessa) matematiikassa ymmärretty väärin V


Mainitsin edellisessä postauksessani, että palaan aihepiiriin formaliikka ilman filosofiaa ei ole matematiikkaa. Tämä ei ole vielä tarkoittamani kirjoitus, mutta ottaa mainitsemaani pointtiin oleellisesti -- jopa riittävästi -- kantaa.

Kerrataan aluksi jälleen kerran, mitä minulle epsilonista on (yliopistossa) opetettu:
  1. ”Epsilon on aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku.”
  2. ”Epsilonille ei saa asettaa alarajaa.
Muistan, kuinka opiskeluaikoinani luennoilla (Jyväskylän yliopistossa) joskus todistettaessa jokin matemaattinen väite, lopputulemana oli aluksi esim. ”jotain” < 2ɛ (huom. alla §1 & §3).

Minulle opetetun mukaan tämä(kin) olisi oikein. Mutta jotta todistus näyttäisi paremmalta, tehtiin jokin ”temppu”, joka saatiin tyylin ”jotain” < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ, jotta mukailtaisiin paremmin olemassaolevaa ns. teoriaa.

Mutta jos ”jotain” < 2ɛ, niin eikö välttämättä ɛ < 2ɛ? (Nyt, ks. alla 1§ ja (3§ & 4.1§).)

Nyt (minulle yliopistossa opetetun mukaan):

(1§) ɛ, epsilon, on aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku
(2§) ja on riittävää, että jokin < 2ɛ
(3§) mutta epsilonille ei saa asettaa alarajaa
(4§) mutta kuitenkin epsilonia voi (mitta- ja integraaliteorian mukaan) mielivaltaisen monesti vieläpä jakaa pienemmäksi
(4.1§) kuitenkin ks. kohta 2§ poistaen sana ja laittaen sen paikalle sana mutta
(4.2§) niin... Tätä kohtaa selvittänee parhaiten tämän postauksen loppuun kuvitusvideona liitetty video
(5§) joten "tuomio": Koko ”epsilonteoria” on epämielekäs, so. höpötys.

Ohessa kuvitusvideo liittyen tähän minulle opetettuun ”teoriaan”, ei kehenkään sitä edustavaan persoonaan. Videota katsellessa katsojan on tarvittaessa palattava edellä olevien pykälien kohdissa esiin tuotuihin ristiriitoihin ja ymmärrettävä ne (mieluiten teorian kontekstissa, kuten teoriaan liittyvän todistuksen).


Videoon liittyen:
- mitä tarkoittaa "epsilon on aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku", jos sen voi jakaa mielivaltaiseen moneen yhä pienempään osaan?
=> saako siis epsilonille asettaa alarajaa ja mitä se tarkoittaa? [onko ɛ/2 = ɛ = 2ɛ ja onko kyllä = ei?]

Palaan asiaan... Myöhemmin.

maanantai 17. heinäkuuta 2017

Kuinka epsilon on ymmärretty väärin osa IV

Kuinka epsilon on ymmärretty väärin (virallisessa) matematiikassa osa IV


Määritelmänsä mukaan epsilon on siis aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku, jolle ei saa asettaa alarajaa. Mutta katsotaanpa vielä kerran seuraavaa:

Olkoon meillä esim. väli [0, ɛ]. Jos nyt seuraava sallitaan ɛ/a, a > 1, on 0:n ja epsilonin välillä ylinumeroituvasti äärettömän monta reaalilukua (periaattessa).

Lyhyesti siis pointtini: Jos epsilonia itseään aletaan jakamaan, jokainen epsilonia pienempi aidosti positiivinen reaaliluku rajaa epsilonia alhaalta, mitä epsilonin määritelmän mukaan ei saa tehdä!

Epsilon ei ole ”taikanumero” siten, että ensin se jaetaan niin monta kertaa pienemmäksi kuin mahdollista ja sitten väitetään, että se alkuperäinen epsilon jota jaettiin, on se pienin.

Simple math.

Image courtesy of Geerati at FreeDigitalPhotos.net


Lyhyesti vielä:

Olisi vähintäänkin outoa, jos välille [0, ɛ] voidaan perustaa eri merkinnöin koko joukko N, Q+ sekä edelleen jokaisen saadun uuden epsilonia pienemmän luvun ja sitä ennen olleen niin ikään epsilonia pienemmän luvun väliin mahduttaa loputtomasti lukuja saaden mielivaltaisen monta joukon R+ lukua.

Siis jos epsilon on aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku, niin jos epsilonia jaetaan, on aidosti positiivisia mielivaltaisen pieniä reaalilukuja mielivaltaisen monta enemmän, jotka ovat pienempiä kuin epsilon. Selvästi ristiriita epsilonin määritelmän kanssa.

Lyhyesti vielä 2:

Jos epsilon itse voidaan jakaa mielivaltaisen moneen aidosti positiiviseen epsilonia pienempään reaalilukuun, menettää epsilon oman merkitsensä: Tällöin ”epsilon” voisi olla mikä hyvänsä itseisarvoltaan ”pieni” aidosti positiivinen reaaliluku, jota edelleen jaetaan mielivaltaisen monta kertaa. Vaikkapa 0.01, mikä ei ole itseisarvoltaan edes erityisen ”pieni”.

Formaliikka ilman siihen liittyvää filosofiaa pelkkänä formaliikkana ei ole matematiikkaa. Tähän aion palata seuraavassa kirjoituksessani.

Jos epsilonia pienempiä aidosti positiivisia reaalilukuja on mielivaltaisen monta, rajaavat nämä kaikki epsilonia alhaalta ja epsilon on vain eräs määrittelemätön luku reaalilukujen joukossa.

Lyhyesti vielä 3:

Jos epsilonin jakaminen sallitaan, on välillä [0, ɛ] (periaattessa) niin montako lukua, kuin on R+:ssa.

maanantai 5. kesäkuuta 2017

Epsilonille ei saa asettaa alarajaa III

Epsilonille ei saa asettaa alarajaa III

- Pähkinä: Missä ovat osat I & II


Muistan matematiikan opiskeluni ns. alkuaikoina teroituksen: ”Epsilonille ei saa asettaa alarajaa!” Muistan edelleen, epsilon jopa määriteltiin reaalilukuna: ”Epsilon on aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku.”

Sitten koittaa arki: Näen matemaattiisia todistuksia, joissa lukee esim. ƹ/2 + ƹ/2 = ƹ. Kahdessa aiemmassa postauksessani olette ehkä nähneet jopa kauheampaa, erityisesti jos olette Jyväskylän yliopistossa minulle niin suositeltua ”Apostolin kirjaa” lukeneet (Tom M. Apostol: Mathematical Analysis, Second Edition), mihin kirjaan perustuu niin filosofian maisterin, filosofian lisensiaatin kuin filosofian tohtorin tutkinnot matematiikan alalla. Siis nämä niin kutsutut ”matemaatikot”.

Hello, kumpi on suurempi: ƹ/2 vai ƹ? Jos luvulle ƹ ei saa asettaa alarajaa, niin mikäs se ƹ/2 tässä on; sehän rajaa oleellisesti jo sinänsä lukua ƹ alhaalta, vai onko ƹ ”implisiittisesti” tai sitten ”paradokdsaalisesti” pienempi kuin ƹ/2, so. onko epsilon taikanumero, joka on itsensä ja mielivaltaisen monta pienempää kuin itsensä olematta pienempi kuin itsensä?

Hei, älyn eliitti, ”pitääkö minun näyttää, miten sitä matematiikkaa oikein tehdään?” (lukijalle ei paljasteta, lainasinko edellisessä itseäni vai/ja lainasinko jotatin  tahoa, joka on lainannut kirjoittajaa).

Jos ne matematiikan kirjat ovat liian abstrakteja, katsokaa ohessa oleva video ja kenties jonain päiväinä, jos Herra suo, tekin ymmärrätte (suonette anteeksi, jos video on liian abstrakti):



Minä tulen varmaan niin kaukaa, että tällainen ”new divide” epsilonin suhteen ei sovi pirtaani...


Nyt, epsilon ei ole "Jokeri". Koskaan tai jotain sinnepäin...

torstai 1. kesäkuuta 2017

Onko lähelle pitkä matka?

Onko lähelle pitkä matka?


Edellinen kirjoitukseni epäilemättä on voinut olla hämmentävä. Mutta voiko välin [a, a + Ɛ] jakaa mielivaltaisen moneen osaväliin [a, a + Ɛv] = [a, b], missä a < b < Ɛ ja Ɛv < Ɛ ja luvuiksi Ɛv voisi määritellä mielivaltaisen monta lukua b (kukin eri)? Jos voi, niin onko mielivaltaisen monta ”wanna be epsilonia”, jotka pyrkivät muodossa b olemaan epsilonina epsilonin paikalla siten, että kun tarinamme sankari, epsilon, joka on määritelty mielivaltaisen pieneksi aidosti positiiviseksi reaaliluvuksi, saakin kilpakosijakseen vielä mielivaltaisen monta itseään epsilonia ”paremmaksi” väittämää ”wanna be epsilon”-klupua, väittämällä ”määpä on pienempi!”.



Mutta nyt, kun muistamme jälleen ystävämme ajan, niin jos ”yhden sykäyksen” kulkemiseen kuluu jokin äärellinen aika (vaikka sitten mielivaltaisen pieni aidosti positiivinen aikayksikkö) välillä [a, a + Ɛ], niin pääsemmekö koskaan äärellisessä ajassa a:sta kohtaan a + Ɛ, jos epsilonin voi jakaa mielivaltaisen moneen pienempään ”wanna be epsilon”-lukuun, kuten jotkut ovat selvästi virallisesssa matematiikassa mielestään tehneet? Siis: Onko lähelle pitkä matka? Mielivaltaisen lähelle. Kuluuko epsilonin mittaisen ajan kulkemiseen ikuisuus? Milloin ikuisuus saavutetaan?

Vitsin mukaan matemaatikon vastaus tähän on: Ei koskaan. Fyysikon puolestaan ”joskus” kun taas insinöörin ”ihan pian!”. Olisi se melkoinen riita, jos startattaisiin nollasta, jolloin kun matemaatikko julistaisi vuoren varmana ”Emme koskaan pääse edes epsiloniin täältä pohja mudasta!”, fyysikko itsevarmana lohduttaisi: ”Kyllä me joskus vielä sen epsilonin näemme!” Kumpaakaan näistä tässä tilanteessa tuskin lohduttaisi insinöörin: ”Ihan pianhan me olemme perillä!” Kun näyttää, niin on.

Siis edelleen pointtini on, että koska epsilonille ei saa asettaa alarajaa, on niin tehty, jos jokin, esim. yllä Ɛ< Ɛ, koska nyt  nimenomaan Ɛrajaa epsilonia alhaalta; epsilon itsessään vain siis nyt enää näyttää epsilonilta, kun se on siihen kirjoitettu; "kun näyttää, niin on".

Vaikka matematiikka on tieteiden kuningatar ja matemaattisia todistuksia arvotetaan adjektiivein kauneus ja eleganttius, niin kyse ei ole missikisoista, so. ”kun näyttää, niin on” – viimeksi mainittu on toisaalta myös politiikkaa, erityisesti ei matematiikkaa ja erityisesti: Matematiikka ei saa olla poltiikkaa...