In English

This blog is written in Finnish and because of very big differences between Finnish and English languages, the translators may give and give (I have tested this) very strange translations. Some posts are posted on my personal English blog too.

tiistai 8. elokuuta 2017

Kuinka epsilon on ymmärretty väärin V

Kuinka epsilon on (virallisessa) matematiikassa ymmärretty väärin osa V


Mainitsin edellisessä postauksessani, että palaan aihepiiriin formaliikka ilman filosofiaa ei ole matematiikkaa. Tämä ei ole vielä tarkoittamani kirjoitus, mutta ottaa mainitsemaani pointtiin oleellisesti -- jopa riittävästi -- kantaa.

Kerrataan aluksi jälleen kerran, mitä minulle epsilonista on (yliopistossa) opetettu:

  1. ”Epsilon on aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku.”
  2. ”Epsilonille ei saa asettaa alarajaa.”

Muistan, kuinka opiskeluaikoinani luennoilla (Jyväskylän yliopistossa) joskus todistettaessa jokin matemaattinen väite, lopputulemana oli aluksi esim. ”jotain” < 2ɛ (huom. alla §1 & §3).

Minulle opetetun mukaan tämä(kin) olisi oikein. Mutta jotta todistus näyttäisi paremmalta, tehtiin jokin ”temppu”, joka saatiin tyylin ”jotain” < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ, jotta mukailtaisiin paremmin olemassaolevaa ns. teoriaa.

Mutta jos ”jotain” < 2ɛ, niin eikö välttämättä ɛ < 2ɛ? (Nyt, ks. alla 1§ ja (3§ & 4.1§).)

Nyt (minulle yliopistossa opetetun mukaan):

(1§) ɛ, epsilon, on aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku
(2§) ja on riittävää, että jokin < 2ɛ
(3§) mutta epsilonille ei saa asettaa alarajaa
(4§) mutta kuitenkin epsilonia voi (mitta- ja integraaliteorian mukaan) mielivaltaisen monesti vieläpä jakaa pienemmäksi
(4.1§) kuitenkin ks. kohta 2§ poistaen sana ja lisäten sen paikalle sana mutta
(4.2§) niin... Tätä kohtaa selvittänee parhaiten tämän postauksen loppuun kuvitusvideona liitetty video
(5§) joten "tuomio": Koko ”epsilonteoria” on epämielekäs, so. höpötys.


Ohessa kuvitusvideo liittyen tähän minulle opetettuun ”teoriaan”, ei kehenkään sitä edustavaan persoonaan. Videota katsellessa katsojan on tarvittaessa palattava edellä olevien pykälien kohdissa esiin tuotuihin ristiriitoihin ja ymmärrettävä ne (mieluiten teorian kontekstissa, kuten teoriaan liittyvän todistuksen).



Videoon liittyen:
- mitä tarkoittaa "epsilon on aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku", jos sen voi jakaa mielivaltaiseen moneen yhä pienempään osaan?
=> saako siis epsilonille asettaa alarajaa ja mitä se tarkoittaa? [onko ɛ/2 = ɛ = 2ɛ ja onko kyllä = ei?]

Palaan asiaan... Myöhemmin.

maanantai 17. heinäkuuta 2017

Kuinka epsilon on ymmärretty väärin osa IV

Kuinka epsilon on ymmärretty väärin (virallisessa) matematiikassa osa IV


Määritelmänsä mukaan epsilon on siis aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku, jolle ei saa asettaa alarajaa. Mutta katsotaanpa vielä kerran seuraavaa:

Olkoon meillä esim. väli [0, ɛ]. Jos nyt seuraava sallitaan ɛ/a, a > 1, on 0:n ja epsilonin välillä ylinumeroituvasti äärettömän monta reaalilukua (periaattessa).

Lyhyesti siis pointtini: Jos epsilonia itseään aletaan jakamaan, jokainen epsilonia pienempi aidosti positiivinen reaaliluku rajaa epsilonia alhaalta, mitä epsilonin määritelmän mukaan ei saa tehdä!

Epsilon ei ole ”taikanumero” siten, että ensin se jaetaan niin monta kertaa pienemmäksi kuin mahdollista ja sitten väitetään, että se alkuperäinen epsilon jota jaettiin, on se pienin.

Simple math.

Image courtesy of Geerati at FreeDigitalPhotos.net


Lyhyesti vielä:

Olisi vähintäänkin outoa, jos välille [0, ɛ] voidaan perustaa eri merkinnöin koko joukko N, Q+ sekä edelleen jokaisen saadun uuden epsilonia pienemmän luvun ja sitä ennen olleen niin ikään epsilonia pienemmän luvun väliin mahduttaa loputtomasti lukuja saaden mielivaltaisen monta joukon R+ lukua.

Siis jos epsilon on aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku, niin jos epsilonia jaetaan, on aidosti positiivisia mielivaltaisen pieniä reaalilukuja mielivaltaisen monta enemmän, jotka ovat pienempiä kuin epsilon. Selvästi ristiriita epsilonin määritelmän kanssa.

Lyhyesti vielä 2:

Jos epsilon itse voidaan jakaa mielivaltaisen moneen aidosti positiiviseen epsilonia pienempään reaalilukuun, menettää epsilon oman merkitsensä: Tällöin ”epsilon” voisi olla mikä hyvänsä itseisarvoltaan ”pieni” aidosti positiivinen reaaliluku, jota edelleen jaetaan mielivaltaisen monta kertaa. Vaikkapa 0.01, mikä ei ole itseisarvoltaan edes erityisen ”pieni”.

Formaliikka ilman siihen liittyvää filosofiaa pelkkänä formaliikkana ei ole matematiikkaa. Tähän aion palata seuraavassa kirjoituksessani.

Jos epsilonia pienempiä aidosti positiivisia reaalilukuja on mielivaltaisen monta, rajaavat nämä kaikki epsilonia alhaalta ja epsilon on vain eräs määrittelemätön luku reaalilukujen joukossa.

Lyhyesti vielä 3:

Jos epsilonin jakaminen sallitaan, on välillä [0, ɛ] (periaattessa) niin montako lukua, kuin on R+:ssa.

maanantai 5. kesäkuuta 2017

Epsilonille ei saa asettaa alarajaa III

Epsilonille ei saa asettaa alarajaa III

- Pähkinä: Missä ovat osat I & II


Muistan matematiikan opiskeluni ns. alkuaikoina teroituksen: ”Epsilonille ei saa asettaa alarajaa!” Muistan edelleen, epsilon jopa määriteltiin reaalilukuna: ”Epsilon on aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku.”

Sitten koittaa arki: Näen matemaattiisia todistuksia, joissa lukee esim. ƹ/2 + ƹ/2 = ƹ. Kahdessa aiemmassa postauksessani olette ehkä nähneet jopa kauheampaa, erityisesti jos olette Jyväskylän yliopistossa minulle niin suositeltua ”Apostolin kirjaa” lukeneet (Tom M. Apostol: Mathematical Analysis, Second Edition), mihin kirjaan perustuu niin filosofian maisterin, filosofian lisensiaatin kuin filosofian tohtorin tutkinnot matematiikan alalla. Siis nämä niin kutsutut ”matemaatikot”.

Hello, kumpi on suurempi: ƹ/2 vai ƹ? Jos luvulle ƹ ei saa asettaa alarajaa, niin mikäs se ƹ/2 tässä on; sehän rajaa oleellisesti jo sinänsä lukua ƹ alhaalta, vai onko ƹ ”implisiittisesti” tai sitten ”paradokdsaalisesti” pienempi kuin ƹ/2, so. onko epsilon taikanumero, joka on itsenäsä ja mielivaltaisen monta pienempää kuin itsensä olematta pienempi kuin itsensä?

Hei, älyn eliitti, ”pitääkö minun näyttää, miten sitä matematiikkaa oikein tehdään?” (lukijalle ei paljasteta, lainasinko edellisessä itseäni vai/ja lainasiko jotatin  tahoa, joka on lainannut kirjoittajaa).

Jos ne matematiikan kirjat ovat liian abstrakteja, katsokaa ohessa oleva video ja kenties jonain päiväinä, jos Herra suo, tekin ymmärrätte (suonette anteeksi, jos video on liian abstrakti):



Minä tulen varmaan niin kaukaa, että tällainen ”new divide” epsilonin suhteen ei sovi pirtaani...


Nyt, epsilon ei ole "Jokeri". Koskaan tai jotain sinnepäin... On jo huolestuttavaa, jos matematiikka on kummitus, jota lepakkomiehen on korjattava...

torstai 1. kesäkuuta 2017

Onko lähelle pitkä matka?

Onko lähelle pitkä matka?


Edellinen kirjoitukseni epäilemättä on voinut olla hämmentävä. Mutta voiko välin [a, a + Ɛ] jakaa mielivaltaisen moneen osaväliin [a, a + Ɛv] = [a, b], missä a < b < Ɛ ja Ɛv < Ɛ ja luvuiksi Ɛv voisi määritellä mielivaltaisen monta lukua b (kukin eri)? Jos voi, niin onko mielivaltaisen monta ”wanna be epsilonia”, jotka pyrkivät muodossa b olemaan epsilonina epsilonin paikalla siten, että kun tarinamme sankari, epsilon, joka on määritelty mielivaltaisen pieneksi aidosti positiiviseksi reaaliluvuksi, saakin kilpakosijakseen vielä mielivaltaisen monta itseään epsilonia ”paremmaksi” väittämää ”wanna be epsilon”-klupua, väittämällä ”määpä on pienempi!”.



Mutta nyt, kun muistamme jälleen ystävämme ajan, niin jos ”yhden sykäyksen” kulkemiseen kuluu jokin äärellinen aika (vaikka sitten mielivaltaisen pieni aidosti positiivinen aikayksikkö) välillä [a, a + Ɛ], niin pääsemmekö koskaan äärellisessä ajassa a:sta kohtaan a + Ɛ, jos epsilonin voi jakaa mielivaltaisen moneen pienempään ”wanna be epsilon”-lukuun, kuten jotkut ovat selvästi virallisesssa matematiikassa mielestään tehneet? Siis: Onko lähelle pitkä matka? Mielivaltaisen lähelle. Kuluuko epsilonin mittaisen ajan kulkemiseen ikuisuus? Milloin ikuisuus saavutetaan?

Vitsin mukaan matemaatikon vastaus tähän on: Ei koskaan. Fyysikon puolestaan ”joskus” kun taas insinöörin ”ihan pian!”. Olisi se melkoinen riita, jos startattaisiin nollasta, jolloin kun matemaatikko julistaisi vuoren varmana ”Emme koskaan pääse edes epsiloniin täältä pohja mudasta!”, fyysikko itsevarmana lohduttaisi: ”Kyllä me joskus vielä sen epsilonin näemme!” Kumpaakaan näistä tässä tilanteessa tuskin lohduttaisi insinöörin: ”Ihan pianhan me olemme perillä!” Kun näyttää, niin on.

Siis edelleen pointtini on, että koska epsilonille ei saa asettaa alarajaa, on niin tehty, jos jokin, esim. yllä Ɛ< Ɛ, koska nyt  nimenomaan Ɛrajaa epsilonia alhaalta; epsilon itsessään vain siis nyt enää näyttää epsilonilta, kun se on siihen kirjoitettu; "kun näyttää, niin on".

Vaikka matematiikka on tieteiden kuningatar ja matemaattisia todistuksia arvotetaan adjektiivein kauneus ja eleganttius, niin kyse ei ole missikisoista, so. ”kun näyttää, niin on” – viimeksi mainittu on toisaalta myös politiikkaa, erityisesti ei matematiikkaa ja erityisesti: Matematiikka ei saa olla poltiikkaa...

tiistai 2. toukokuuta 2017

Kuinka epsilon on ymmärretty väärin

Kuinka epsilon on ymmärretty (virallisessa) matematiikassa väärin -- ja mitä siitä seuraa!


Epsilon on määritelmänsä mukaan aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku. Nyt, montako lukua on suljetulla reaalilukuvälillä [0, 0 + Ɛ]? Ei yhtään. Reaalilukujen joukossa Ɛ on ”seuraava sykäys” kahden vierettäisen reaaliluvun välillä. Vastaavasti kuin joukossa N ”seuraava sykäys” on 1 kahden joukon N perättäisen luvun välillä. Epsilonia ei siis voi jakaa, sillä epsilon on määritelmänsä nojalla ”valmiiksi jaettu” mielivaltaisen pieneksi aidosti positiiviseksi reaaliluvuksi. Siis jokainen matemaattinen todistus on väärin, joissa esiintyy esim. ilmaisu Ɛ/2, sillä osoittajassa oleva epsilon ei nyt voi olla epsilon määritelmänsä mukaan. Osoittajassa oleva Ɛ vain näyttää epsilonilta, kun se siihen on kirjoitettu, mutta ei ole epsilon. Virhe on luokkaa ”kun näyttää, niin on.”

Ilmaisu ”epsilonille ei saa asettaa alarajaa” on jotenkin väärin ymmärretty; jos epsilon ”jaetaan pienemmäksi” ja tulkinnan mukaan niin voi tehdä, tehdään virhe: Esim. Jos todistuksen lopussa saadaan ”jokin” <  Ɛ/2 +  Ɛ/2 =  Ɛ, on saatu Ɛ itseasiassa rajoitettu alhaalta, sillä esim. jo Ɛ/2 <  Ɛ. Tämä tarkoittaa, että se, mikä on kirjoitettu muotoon Ɛ ei ole enää aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku eli epsilon (siis tuo pienempi kuin merkin oikealla puolella oleva epsilon)!

Ja mitä tästä ”kun näyttää, niin on”-virheestä seuraa:

Väite (väite ei pidä paikkansa): Kahden toisiaan mielivaltaisen lähellä olevan reaaliluvun välillä on äärettömän monta – numeroituvasti tai ylinumeroituvasti – reaalilukua.

”Todistus.”

Olkoon a mielivaltainen reaaliluku. Olkoon nyt b = Ɛ.

Olkoon nyt c = a + b = a + Ɛ. Nyt c on pienin a:ta suurempi reaaliluku, mikä voidaan ilmaista. Mutta jos b jaetaan luvulla n (n = 1, 2, 3, …), on a:n ja b:n välillä [a, b] = [a, a + Ɛ] numeroituvasti äärettömän monta reaalilukua. Annetaan luvun n kasvaa ilman rajaa, merkitään kutakin ”uutta mielivaltaisen pientä aidosti positiivista lukua” b luvulla Ɛn.

Nyt näyttää, että a:n ja b:n välillä on numeroituvasti äärettömän monta reaalilukua. Näin ollen esim. välillä [0, 0 +  Ɛ] olisi numeroituvasti – tai ylinumeroituvasti – äärettömän monta reaalilukua, mikä on hölynpölyä.

Vastaavasti jos jakaja ei ole n, vaan esim. r joka saa kaikki aidosti positiiviset reaalilukuarvot, saadaan vielä pienempiä lukuja Ɛr jolloin olisimme saaneet a:n ja b:n välille [a, a + Ɛ] ylinumeroituvasti äärettömän monta lukua.

Kuten alussa todettiin, epsilonin määritelmän mukaan lukua Ɛ pienempää aidosti positiivista reaalilukua ei ole.

Siis yo. todistus on hölynpölyä, kuten osin – elleivät jopa kokonaan – suurin osa (virallisista) matemaattisista todistuksista, joihin liittyy delta-epsilon -tekniikka.

Olisi se nyt jo liian hassua, jos kahden mielivaltaisen toisiaan lähellä olevan reaaliluvun välissä olisi ylinumeroituvasti äärettömän monta reaalilukua; olisivatko nämä kaksi reaalilukua tuolloin mielivaltaisen lähellä toisiaan? Mikä se ”epsilon” tuolloin olisi?

Ohessa esimerkki (virallisen) matematiikan todistuksesta, jossa epsilon on ymmäretty väärin (lisää esimerkkejä löytyy esim. kirjasta Mathematical Analysis, Second Edition (Tom M. Apostol)):

Klikkaa kuvaa, nähdäksesi se suurempana
(Kyse on mitta- ja integraaliteoriasta)

Loppujen lopuksi epsilonin väärin ymmärtäminen on hivenen samaa kategoriaa, kuin lapset keskustelisivat keskenään toisen kysyessä: ”Paljonko on ääretön plus ääretön?”. Mihin sitten toinen vastaisi: ”Kaksi ääretöntä.”

Eli miten ihmeessä mielivaltaisen pienen voisi jakaa edelleen mielivaltaisen moneen mielivaltaisen pieneen osaan?

Päivitystä:

Reaalilukujen joukossa käsite epsilon on turha, jos sitä edelleen täytyy alkaa jakamaan; siis niin ei saa tehdä! Koska reaaliluvut ovat hyvin tiheässä, ei ole mitään tavallisessa mielessä konkreettista lukua, jolla voisi ilmaista etäisyyden kahden mielivaltaisen toisiaan lähellä olevan reaaliluvun välillä. Epsilon edustaa abstraktina ideana tätä mielivaltaisen pientä ”väliä” kahden mielivaltaisen lähellä toisiaan olevan reaaliluvun välillä.

maanantai 3. huhtikuuta 2017

Nolla ei ole parillinen tai pariton osa III

Nolla ei ole parillinen tai pariton osa III


Kun nyt varmaan aiheen ensimmäiselle osalle on jo tarpeeksi naurettu (tai nauru on vasta todella alkamassa, mikä aiheen osan III kannalta voi olla positiivinen asia (paitsi jos nauraessaan ei kykene keskittymään osan III asiaan), mutta ehdottomasti ei aidosti positiivinen asia), so. opettavainen asia niin kirjoittajalle kuin lukijalle, on aika teroittaa terävämmin, miksi nolla ei ole parillinen tai pariton.

Perustavin seikka, mikä puhuu otsikon väitteen puolesta on matemaattis-filosofisesti ottaen moraalinen: Nollaa ei saa mitätöidä ja pitää ”tasa-arvoisena” muiden lukujen kanssa, koska se selkeästi ei sitä ole. Aina kun 0 on mukana, on sen erityisominaisuuksia noudatettava tai tuloksena on ristiriitoja tai suoranaisia matemaattisia laittomuuksia.

Erityisesti nolla tuo mukanaan ehdottoman kiellon jakaa mitään itsellään – lisäksi itsensä jakamisen itsellään. Tämä on aina määrävä ehto nollan ollessa mukana ja tätä ehtoa on noudatettava. Lisäksi kertolaskun yhteydessä nolla on määrävä jopa mihin hyvänsä muiden lukujen ominaisuuksiin nähden: Nollan voidaan sanoa moraalisesti jopa ”neutraloivan” kertolaskun yhteydessä luvun 1 neutraalialkioisuuden nollan omalla perustavammalla ”nollaamis”-identiteetillään; 1 ei moraalisesti ottaen säilytä nollan identiteettiä kertolaskussa, vaan nolla säilyttää itseasiassa omansa.

Formaalis-filosofisesti: Jos luku määritellään parilliseksi ”tasa-arvoisesti” muiden parillisten lukujen kanssa, ts. samalla määritelmällä ”yhtä aikaa”, mutta koska poiketen muista parillisista luvuista tälle "parilliselle" luvulle ei toimi parillisuuden testaamiseen juuri tämä luku itse joissakin kriittisissä tilanteissa ollenkaan, mutta muille toimii, pitäisi hälytyskellojen soida...

Jokaisella parillisella tai parittomalla luvulla tulee olla lopulta aina ja "kaikkialla" jopa kaikki parillisen tai parittoman luvun ominaisuudet. Nollan erityislaatuisuuden myötä jos oletetaan, että nolla olisi parillinen tai pariton, nollaa ei aina voisi käyttää laisinkaan yleisesti parillisen tai parittoman luvun omaisesti, huom. erityisesti 0/0 tai vaikkapa a / 0, jolloin jos a on reaaliluku, olisi ylinumeroituvasti äärettömän monta mahdotonta tilannetta.

Nollan määritteleminen "paloittain" parilliseksi (tai parittomaksi) eri konteksteissa voi toisaalta olla myös nollan itsensä uudelleen määrittelyä eri konteksteihin. Montako "nollaa" on olemassa? Onko olemassa jokin "nolla", jolla voi jakaa? Jos on, kuinka aidosti se silloin on idea alkuperäisestä (jos sellainen on) "numeerisesta" käsitteestä nolla? Ovatko ns. "erinäköiset nollat" rakennettu "alkuperäisestä" nollasta (käyttäen tätä joskus useasti)? Pointti: Onko "alkuperäinen" nolla varmasti aina samassa mielessä nolla, kun se on rakennuspalikkana; voidaanko tuolloin itseasiassa nähdä ikään kuin limittäin tasoja, joissa "alkuperäinen" nolla ei olekaan täsmälleen sama nolla, jotenkin kategoris-kontekstuaalisesti...

Edelleen, jos nyt oletetaan, että emme tiedä, onko nolla parillinen luku, niin tunnetuista parillisista luvuista itseisarvoltaan pienin parillinen luku on 2, jota tyypillisesti käytetään parillisuuden osoittamiseen tai testaamiseen (mikä tietysti on eri asia kuin määritellä luku parilliseksi). On kuitenkin huomattava, että jos sitten 0 on osoitettu jotenkin parilliseksi nimenomaan luvun 2 parillisuusominaisuuksiin tukeutuen, kierretään itseasissa kehää, jos pyritään jakamalla 2:lla jotenkin osoittamaan 0 parilliseksi, yhä uudelleen ja uudelleen, loputtomasti.

Erityisesti eikö mahdollisimman täydellisessä parillisuustestissä pitäisi käyttää juuri mahdollisimman perustavasti parillista lukua itseään testatessa minkä hyvänsä luvun parillisuus? Jos siis testinä on nimenomaan jakolasku, eikö parillisuus pitäisi testata nollalla (0) jakamalla (tosin se on mahdotonta) -- vai onko nolla parillisin luku?

Toisaalta, jos nolla olisi parillisin luku, niin eihän kaikkien (parillisten) lukujen tarvitsisi -- erityisesti ne eivät voisi -- olla parillisimpia...

Ongelmaksi nousee erityisesti (jos parillisuus testataan jakamalla perustavasti "parillisimmalla" luvulla), että 0:lla ei voi jakaa; jos siis nyt nolla osoitettaisiin (määrittely olisi eri asia) parilliseksi jakamalla se itseään suuremalla parillisella luvulla 2:lla, ei tämä todella kerro 0:n parillisuudesta vielä mitään; kyse on itseasissa lopulta jonkinlaisesta epämääräisestä kehäpäätelmästä, jos pyritään osoittamaan nolla vain luvun 2 ominaisuuksiin perustuen parillisimmaksi luvuksi, koska tuolloin olisi sivuutettu kokonaan nollan omat erityislaatuiset ominaisuudet saaden loputtomasti 0 itse ja edelleen jaettiinpa 0 siis millä hyvänsä muulla luvulla kuin itsellään, saadaan joka tapauksessa 0.

Jos nolla olisi parillisin luku, eikö perustava nollan määritelmä ja lisäksi perustavan parillisuuden määritelmän pitäisi olla seikka, joka kertoo tämän asian?  Pointti: Miksi ylipäätään luku 2 on parillinen? Kun tämän näkee, niin miksi ylipäätään luku 0 vastaavasti olisi parillinen? Vastaukseksi ei riitä "kun näyttää, niin on".

Parillisuutta voi hakea symmetrian kautta jotenkin, mutta tämä ei välttämättä riitä aina takaamaan ominaisuuden parillisuutta todella, nollan kanssa tulee ongelma. Nollan idea: ”ei yhtään”, ”ei ollenkaan”, joskus filosofisemmin ”tyhjyys” tai ”hiljaisuus”. Missä näissä on symmetria? Tavallaan sitä on ”äärettömän paljon”, jokaisessa ”pisteessä”, kaikkialla – aivan vastaavasti kuin 0 / a = 0, a ≠ 0.

Tarkastellaan ehtoa a ≠ 0 piittamatta siitä filosofisessa kontekstissa yleisellä tasolla. Mitä on ei yhtään ”jaettuna” jotenkin samalla ei yhtään-seikalla? Vaikea sanoa (”0/0”). Mitä on tyhjyys ”jaettuna” tyhjyydellä? Tyhjyys (0/0(?))? Mitä itseasissa ”jaetaan” ja millä, jos tyhjyys jaetaan itsellään?

Image courtesy of nalinratphi at FreeDigitalPhotos.net

Yllä olevaan kuvaan vielä liittyen kertauksen omaisesti: Montako lasia (lukija saa halutessaan nimittää "laseja" haluamiksiin artefakteiksi) kuvassa on pöydällä? Kaksi. Parillinen määrä. Jos poistamme molemmat lasit pöydältä, montako lasia tuolloin pöydällä on? Nolla. Onko tuolloin lasien lukumäärän näkökulmasta pöydällä parillinen "ei yhtään" lasien lukumäärän kannalta? Nythän pöydällä on "parillinen" tyhjyys minkä hyvänsä -- ei vain poistettujen lasien -- objektin kannalta. Seikkaa "ei yhtään" on pöydän "tyhjyydessä", so pöydän "päällä" tai pöytää vasten "äärettömän paljon", so. seikkaa "ei yhtään" mahtuu mihin hyvänsä 'tyhjään' "äärettömän paljon" ottamatta kantaa edes mitä (konkreettisia objekteja) on "ei yhtään". Onko seikkaa ei yhtään tyhjyydessä nyt parillinen määrä? Onko "äärettömän paljon" parillinen? Ääretön ei ole luku.

Mitä puolestaan on hiljaisuus ”jaettuna” hiljaisuudella? Hiljaisuus? Vai emmekö tiedä? Jos ei ole hiljaisuutta, on ääntä. Ääniä voi jakaa osiin, voiko hiljaisuutta? Mitä se tarkoittaisi? Hiljaisuus olisi vieläkin hiljaisempi tilanteessa, missä on jo hiljaisuus ("0/0"(?))?

Väitän, että aina kun nolla pyritään määrittelemään samalla määritelmällä parilliseksi (tai parittomaksi) kuin mikä hyvänsä luku, kyseessä on lopulta ristiriitoja ja/tai kehäpäätelmän makua tai suoranainen kehäpäätelmä johtuen nollan itsensä väkevämmistä ominaisuuksista muihin lukuihin verrattuna vaikka nolla itseisarvoltaan on se pienin. Totisesti pienikin voi olla suuri!

tiistai 7. maaliskuuta 2017

Neutraalialkio filosofisesti eri kategorioina

Neutraalialkio filosofisesti eri kategorioina

- kuinka erityisesti nolla (0) on "oma lukunsa"



Tämä kirjoitus mm. konkretisoi edellisen kirjoituksen alahuomautusta. Varsinainen pointti on kuitenkin käsitteen neutraalialkio sinänsä pohtiminen – matemaattis-filosfisesti.

Sinänsä jo mahdollisimman yksinkertaisissa neutraalialkiotilanteissa on huomattava itse käsitteen neutraalialkio kannalta filosofis-kategorisesti jotain oleellisesti erilaista, tilannekohtaisesti. Tässä erityisesti voimakas, mutta niin kovin monessa mielessä unohdettu ja aliarvostettu ystävämme nolla (0), on reaaliluvun muodossa oleellisessa osassa.


Image courtesy of ddpavumba at FreeDigitalPhotos.net

Alla oleva tarkastelu rajoittuu reaalilukujen joukkoon.

Miksi kategorisesti neutraalialkiona nolla yhteenlaskun yhteydessä on oleellisesti eri kategoriaa, kuin kertolaskun yhteydessä reaaliluku 1 neutraalialkiona

Sinänsä jo pelkkänä ideana nolla on syvällisempi, monisyisempi sekä monintavoin voimakkaampi ja ”vaarallisempi” kuin idea yksi (1). Myös nyt erityisesti neutraalialkiona nolla edustaa kategorisesti jotain erilaista.

Yksi (1) neutraalialkiona

Olkoon a mielivaltainen reaaliluku. Nyt kaikille a (tapaukseen a = 0 suhtaudumme kuitenkin nyt varauksella) pätee 1 * a = a.

Mutta koska nollalle (0)  pätee lisäksi jokaiselle a toisaalta  0 * a = 0 joka tapauksessa perustuen nollan itsensä väkevään ominaisuuteen, niin lopulta luvun 1 neutraalialkioisuus tilanteessa a = 0 (tarkastelu 1 * a), ei välttämättä – jos ollenkaan – tarkoita samassa mielessä kuin muille reaaliluvuille a, että luku 1 on edes neutraalialkio tilanteessa 1 * 0.

Kertolaskun tapauksessa nollan käyttäytyminen sinänsä ”nollaavana” on jotenkin perustavalla tavalla niin voimakas, että se voi oleellisesti kyseenalaistaa, onko 1 neutraalialkio kertolaskun tapauksessa tilanteessa 1 * 0. Tosin oleellisesti näyttää laskennon näkökulmasta katsoen, että aina 1 * a = a. Tietysti voidaan ajatella, että on yhtä aikaa voimassa 1 * 0 = 0 siten, että 1 olisi samanarvoisesti neutraalialkio kertolaskun yhteydessä nollalle kuin muiden reaalilukujen kanssa ja toisaalta sitten lisäksi 0 * a = 0.

Tosin tämä olisi nollan mitätöimistä: ”Ilmiössä” 0 * a = 0 on perustavasti perustaen kyse perustavasta ideasta, mitä nolla on, niin voimakkaasti, että puhuminen yhdestä neutraalialkiona tapauksessa 1 * 0 = 0 voi olla keinotekoista – jopa virhe! Ilman filosofiaa, ilman kunnollista todella määriteltyä käsitystä nollasta, pelkkä laskennon lauseke 1 * 0 = 0 ei ole riittävä takaamaan, onko 1 todella neutraalialkio tässä kyseisessä tapauksessa.

Arkisesti ilmaistuna: Kun 1:n on kertolaskun tapauksessa määrä olla virallisesti neutraalialkio, niin onko kyse tosiasiassa määrävämmin siitä, että nolla "nollaa" ykkösen (1); sen sijaan, että 1 säilyttäisi nollan identiteetin, nolla säilyttääkin itse oman tietyn kategorisen identiteettinsä nollaamalla (kaikkien muiden reaalilukujen lisäksi) myös 1:n.

Toisin ilmaistuna, 1 ei primäärisesti matemaattis-filosofisesti ottaen säilytä nollan identiteettiä, vaan siis nolla säilyttää primäärisesti oman identiteettinsä perustavan määrävämmän oman ominaisuutensa puitteissa, so. "nollaamis"-ominaisuutensa.

Siis mikä merkityksellisintä: Onko matemaattis-filosofisesti kyse siis itseasiassa siitä, että nolla "neutralisoi" kyseisessä kertolaskussa luvun 1 neutraalialkio-ominaisuuden omalla "vahvemmalla" ja perustavammalla ominaisuudellaan ja vain näyttää, että yksi olisi ko. tilanteessa oleellisesti neutraalialkio. Toisaalta jotenkin "sekundäärisesti" yhden (1) voidaan ajatella olevan tilanteessa neutraalialkion kuitenkin. Toisaalta tätä voisi pitää nollan kannalta filosofisesti moraalisesti ottaen arvelluttavana, siksi erityisesti matemaattis-filosofisena virheenä jopa.

Nolla (0) neutraalialkiona, osa 1

Olkoon a mielivaltainen reaaliluku. Nyt kaikille a pätee 0 + a = a.

Nyt filosofisesti kiinnostava (”kriittinen”) tilanne on, kun a = 0. Kyseessä ei ole filosofisesti ”samanarvoinen” tilanne kuin muiden reaalilukujen.

Matemaattis-filosofisesti kategorisesti ottaen tämä on lisäksi eri kategorian tilanne kuin 1 * 1 = 1 tarkastellessa asiaa neutraalialkion näkökulmasta. Yhden tapauksessa yllä ”yksi on vain kerran itsensä”, nollan tapauksessa rakentamani ilmaisu on jo kummallinen (jopa toisaalta ”epäillyttävä”): ”Ei yhtään lisätään ”määrään” ei yhtään.

Pohdinnan lopputulema on, että kategorisesti neutraalialkiona nolla on ”voimakkaampi” kuin 1, koska
  • kun 1 näyttäisi olevan neutraalialkio nollalle samoin kuin muille reaaliluvuille, ei filosofisesti ottaen luku 1 sitä välttämättä ole, koska ”samaanaikaan” tai joka tapauksessa nollan itsensä ”voimakkaampi” yleinen ominaisuus takaa jo sinällään, että 1 * 0 = 0
  • Nolla itse neutraalialkiona yhteenlaskun yhteydessä on filosofisesti mahdollisesti ”kriittinen tapaus” ainoastaan nollan itsensä kanssa, tapaus 0 + 0 = 0, mikä toisaalta jo osoittaa, että neutraalialkiona nolla yhteenlaskun yhteydessä on kategorisesti erilainen, kuin puolestaan luku 1 neutraalialkiona kertolaskun yhteydessä. Edelleen, nollan neutraalialkioisuuden kanssa ainoa mahdollisesti ”kriittinen” tilanne tulee siis vain nollan itsensä kanssa, myös tässä
Nolla (0) neutraalialkiona, osa 2

”Matemaattinen pizza”-kirjoituksessa tuli esiin ongelma, että voisiko nolla itseasiassa olla positiivinen tai negatiivinen, jos nollaa pidetään positiivisena (mutta ei aidosti positiivisena) kokonaislukuna, jos nolla jaetaan negatiivisella reaaliluvulla.

Oppini mukaan nolla on positiivinen kokonaisluku vaikkakaan ei aidosti positiivinen, mutta jos nolla ei kuitenkaan todella ole toisaalta negatiivinen koskaan, niin nollan neutraalisuus on tällöin ”laajempaa” edelleen kuin esim. kertolaskun yhteydessä luvun 1.

Jos positiivinen nolla jaettuna negatiivisella reaaliluvulla ei tuota negatiivista nollaa, ”neutraloi” nolla lisäksi ainakin luvun negatiivisuuden (melkoinen ominaisuus positiiviselle kokonaisluvulle). Mutta jos nolla jaetaan aidosti positiivisella luvulla, nolla ”neutraloi” itseasiassa aidosti positiivisesta luvusta juuri positiivisuuden aitouden; osamäärän ollessa nolla (0), osamäärä ei voi olla aidosti positiivinen, koska nolla ei ole aidosti positiivinen.

Melkoinen pizza se nolla olisi, jos se voisi olla sekä positiivinen, aidosti positiivinen ja vieläpä toisaalta negatiivinen (mutta olisiko se sitä aidosti?).


Perus aritmetiikan näkökulmasta nolla edustaa sinällään selvästi jo kahden eri kategorian ”neutraalialkiota” (lainausmerkit edellä, koska jälkimmäinen "neutraalialkioisuus" on todella kategorisesti erilaista):

  • nolla yhteenlaskutilanteessa yhteenlaskettavana
  • nolla itse jaettuna millä hyvänsä reaaliluvulla (muulla kuin 0) ”neutraloi” ainakin jakajan negatiivisuuden (ellei sitten negatiivista nollaa todella ole olemassa), toisaalta jos nolla on positiivinen kokonaisluku, nolla jaettaessa aidosti positiivisella reaaliluvulla, neutralisoi aidosti positiivisen jakajan positiivisuuden aitouden

Nyt pääsemmekin edellisten postausten jatko-aiheeseen: Edellä on pyritty perustelemaan, miksi käsite neutraalialkio voi olla mielekästä ymmärtää eri kategorian käsitteinä.

Aliarvostettu ystävämme nolla (0) toisaalta voi olla myös muussa kuin ”laskennon” mielessä neutraali: Nollan neutraalisuus ilmenee väittämäni mukaan myös siten, että nolla ei ole parillinen tai pariton. Toisaalta nyt ”neutraalisuus” tarkoittaa kategorisesti täysin eri asiaa kuin neutraalialkio aiemmin: Kyse on matemaattis-filosofisesti ideasta nolla ilman kannanottoa, kuinka nolla toimii laskutoimitusten yhteydessä.

Yleisemmin ajatellen, jos voidaan hyväksyä, että nolla ei ole pariton tai parillinen, niin eräs ominaisuus, mikä tätä kuvaa, on neutraalisuus tai neutraalialkio kategorisesti muussa kuin totutussa mielessä.


Tämän kirjoituksen loppuhämmennyksenäni totean vielä seuraavaa: Pidän avoimena kysymyksenä, missä mielessä (matemaattis-filosofisesti kategorisesti ottaen) nolla on ylipäätään kokonaisluku, ottamatta kantaa sen mahdolliseen positiivisuuteen (minkä oletusarvoisesti oleellisesti kyseenalaistan perustellusti).