In English

This blog is written in Finnish and because of very big differences between Finnish and English languages, the translators may give and give (I have tested this) very strange translations. Some posts are posted on my personal English blog too.

maanantai 5. kesäkuuta 2017

Epsilonille ei saa asettaa alarajaa III

Epsilonille ei saa asettaa alarajaa III

- Pähkinä: Missä ovat osat I & II


Muistan matematiikan opiskeluni ns. alkuaikoina teroituksen: ”Epsilonille ei saa asettaa alarajaa!” Muistan edelleen, epsilon jopa määriteltiin reaalilukuna: ”Epsilon on aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku.”

Sitten koittaa arki: Näen matemaattiisia todistuksia, joissa lukee esim. ƹ/2 + ƹ/2 = ƹ. Kahdessa aiemmassa postauksessani olette ehkä nähneet jopa kauheampaa, erityisesti jos olette Jyväskylän yliopistossa minulle niin suositeltua ”Apostolin kirjaa” lukeneet (Tom M. Apostol: Mathematical Analysis, Second Edition), mihin kirjaan perustuu niin filosofian maisterin, filosofian lisensiaatin kuin filosofian tohtorin tutkinnot matematiikan alalla. Siis nämä niin kutsutut ”matemaatikot”.

Hello, kumpi on suurempi: ƹ/2 vai ƹ? Jos luvulle ƹ ei saa asettaa alarajaa, niin mikäs se ƹ/2 tässä on; sehän rajaa oleellisesti jo sinänsä lukua ƹ alhaalta, vai onko ƹ ”implisiittisesti” tai sitten ”paradokdsaalisesti” pienempi kuin ƹ/2, so. onko epsilon taikanumero, joka on itsenäsä ja mielivaltaisen monta pienempää kuin itsensä olematta pienempi kuin itsensä?

Hei, älyn eliitti, ”pitääkö minun näyttää, miten sitä matematiikkaa oikein tehdään?” (lukijalle ei paljasteta, lainasinko edellisessä itseäni vai/ja lainasiko jotatin  tahoa, joka on lainannut kirjoittajaa).

Jos ne matematiikan kirjat ovat liian abstrakteja, katsokaa ohessa oleva video ja kenties jonain päiväinä, jos Herra suo, tekin ymmärrätte (suonette anteeksi, jos video on liian abstrakti):



Oletan, että ette ymmärtäneet; siis herra Jokeri(t), saako epsilonille asettaa alarajaa vai ei? Minä tulen varmaan niin kaukaa, että tällainen ”new divide” epsilonin suhteen ei sovi pirtaani...


Nyt, epsilon ei ole "Jokeri". Koskaan tai jotain sinnepäin... On jo huolestuttavaa, jos matematiikka on kummitus, jota lepakkomiehen on korjattava...

torstai 1. kesäkuuta 2017

Onko lähelle pitkä matka?

Onko lähelle pitkä matka?


Edellinen kirjoitukseni epäilemättä on voinut olla hämmentävä. Mutta voiko välin [a, a + Ɛ] jakaa mielivaltaisen moneen osaväliin [a, a + Ɛv] = [a, b], missä a < b < Ɛ ja Ɛv < Ɛ ja luvuiksi Ɛv voisi määritellä mielivaltaisen monta lukua b (kukin eri)? Jos voi, niin onko mielivaltaisen monta ”wanna be epsilonia”, jotka pyrkivät muodossa b olemaan epsilonina epsilonin paikalla siten, että kun tarinamme sankari, epsilon, joka on määritelty mielivaltaisen pieneksi aidosti positiiviseksi reaaliluvuksi, saakin kilpakosijakseen vielä mielivaltaisen monta itseään epsilonia ”paremmaksi” väittämää ”wanna be epsilon”-klupua, väittämällä ”määpä on pienempi!”.



Mutta nyt, kun muistamme jälleen ystävämme ajan, niin jos ”yhden sykäyksen” kulkemiseen kuluu jokin äärellinen aika (vaikka sitten mielivaltaisen pieni aidosti positiivinen aikayksikkö) välillä [a, a + Ɛ], niin pääsemmekö koskaan äärellisessä ajassa a:sta kohtaan a + Ɛ, jos epsilonin voi jakaa mielivaltaisen moneen pienempään ”wanna be epsilon”-lukuun, kuten jotkut ovat selvästi virallisesssa matematiikassa mielestään tehneet? Siis: Onko lähelle pitkä matka? Mielivaltaisen lähelle. Kuluuko epsilonin mittaisen ajan kulkemiseen ikuisuus? Milloin ikuisuus saavutetaan?

Vitsin mukaan matemaatikon vastaus tähän on: Ei koskaan. Fyysikon puolestaan ”joskus” kun taas insinöörin ”ihan pian!”. Olisi se melkoinen riita, jos startattaisiin nollasta, jolloin kun matemaatikko julistaisi vuoren varmana ”Emme koskaan pääse edes epsiloniin täältä pohja mudasta!”, fyysikko itsevarmana lohduttaisi: ”Kyllä me joskus vielä sen epsilonin näemme!” Kumpaakaan näistä tässä tilanteessa tuskin lohduttaisi insinöörin: ”Ihan pianhan me olemme perillä!” Kun näyttää, niin on.

Siis edelleen pointtini on, että koska epsilonille ei saa asettaa alarajaa, on niin tehty, jos jokin, esim. yllä Ɛ< Ɛ, koska nyt  nimenomaan Ɛrajaa epsilonia alhaalta; epsilon itsessään vain siis nyt enää näyttää epsilonilta, kun se on siihen kirjoitettu; "kun näyttää, niin on".

Vaikka matematiikka on tieteiden kuningatar ja matemaattisia todistuksia arvotetaan adjektiivein kauneus ja eleganttius, niin kyse ei ole missikisoista, so. ”kun näyttää, niin on” – viimeksi mainittu on toisaalta myös politiikkaa, erityisesti ei matematiikkaa ja erityisesti: Matematiikka ei saa olla poltiikkaa...

tiistai 2. toukokuuta 2017

Kuinka epsilon on ymmärretty väärin

Kuinka epsilon on ymmärretty (virallisessa) matematiikassa väärin -- ja mitä siitä seuraa!


Epsilon on määritelmänsä mukaan aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku. Nyt, montako lukua on suljetulla reaalilukuvälillä [0, 0 + Ɛ]? Ei yhtään. Reaalilukujen joukossa Ɛ on ”seuraava sykäys” kahden vierettäisen reaaliluvun välillä. Vastaavasti kuin joukossa N ”seuraava sykäys” on 1 kahden joukon N perättäisen luvun välillä. Epsilonia ei siis voi jakaa, sillä epsilon on määritelmänsä nojalla ”valmiiksi jaettu” mielivaltaisen pieneksi aidosti positiiviseksi reaaliluvuksi. Siis jokainen matemaattinen todistus on väärin, joissa esiintyy esim. ilmaisu Ɛ/2, sillä osoittajassa oleva epsilon ei nyt voi olla epsilon määritelmänsä mukaan. Osoittajassa oleva Ɛ vain näyttää epsilonilta, kun se siihen on kirjoitettu, mutta ei ole epsilon. Virhe on luokkaa ”kun näyttää, niin on.”

Ilmaisu ”epsilonille ei saa asettaa alarajaa” on jotenkin väärin ymmärretty; jos epsilon ”jaetaan pienemmäksi” ja tulkinnan mukaan niin voi tehdä, tehdään virhe: Esim. Jos todistuksen lopussa saadaan ”jokin” <  Ɛ/2 +  Ɛ/2 =  Ɛ, on saatu Ɛ itseasiassa rajoitettu alhaalta, sillä esim. jo Ɛ/2 <  Ɛ. Tämä tarkoittaa, että se, mikä on kirjoitettu muotoon Ɛ ei ole enää aidosti positiivinen mielivaltaisen pieni reaaliluku eli epsilon (siis tuo pienempi kuin merkin oikealla puolella oleva epsilon)!

Ja mitä tästä ”kun näyttää, niin on”-virheestä seuraa:

Väite (väite ei pidä paikkansa): Kahden toisiaan mielivaltaisen lähellä olevan reaaliluvun välillä on äärettömän monta – numeroituvasti tai ylinumeroituvasti – reaalilukua.

”Todistus.”

Olkoon a mielivaltainen reaaliluku. Olkoon nyt b = Ɛ.

Olkoon nyt c = a + b = a + Ɛ. Nyt c on pienin a:ta suurempi reaaliluku, mikä voidaan ilmaista. Mutta jos b jaetaan luvulla n (n = 1, 2, 3, …), on a:n ja b:n välillä [a, b] = [a, a + Ɛ] numeroituvasti äärettömän monta reaalilukua. Annetaan luvun n kasvaa ilman rajaa, merkitään kutakin ”uutta mielivaltaisen pientä aidosti positiivista lukua” b luvulla Ɛn.

Nyt näyttää, että a:n ja b:n välillä on numeroituvasti äärettömän monta reaalilukua. Näin ollen esim. välillä [0, 0 +  Ɛ] olisi numeroituvasti – tai ylinumeroituvasti – äärettömän monta reaalilukua, mikä on hölynpölyä.

Vastaavasti jos jakaja ei ole n, vaan esim. r joka saa kaikki aidosti positiiviset reaalilukuarvot, saadaan vielä pienempiä lukuja Ɛr jolloin olisimme saaneet a:n ja b:n välille [a, a + Ɛ] ylinumeroituvasti äärettömän monta lukua.

Kuten alussa todettiin, epsilonin määritelmän mukaan lukua Ɛ pienempää aidosti positiivista reaalilukua ei ole.

Siis yo. todistus on hölynpölyä, kuten osin – elleivät jopa kokonaan – suurin osa (virallisista) matemaattisista todistuksista, joihin liittyy delta-epsilon -tekniikka.

Olisi se nyt jo liian hassua, jos kahden mielivaltaisen toisiaan lähellä olevan reaaliluvun välissä olisi ylinumeroituvasti äärettömän monta reaalilukua; olisivatko nämä kaksi reaalilukua tuolloin mielivaltaisen lähellä toisiaan? Mikä se ”epsilon” tuolloin olisi?

Ohessa esimerkki (virallisen) matematiikan todistuksesta, jossa epsilon on ymmäretty väärin (lisää esimerkkejä löytyy esim. kirjasta Mathematical Analysis, Second Edition (Tom M. Apostol)):

Klikkaa kuvaa, nähdäksesi se suurempana
(Kyse on mitta- ja integraaliteoriasta)

Loppujen lopuksi epsilonin väärin ymmärtäminen on hivenen samaa kategoriaa, kuin lapset keskustelisivat keskenään toisen kysyessä: ”Paljonko on ääretön plus ääretön?”. Mihin sitten toinen vastaisi: ”Kaksi ääretöntä.”

Eli miten ihmeessä mielivaltaisen pienen voisi jakaa edelleen mielivaltaisen moneen mielivaltaisen pieneen osaan?

Päivitystä:

Reaalilukujen joukossa käsite epsilon on turha, jos sitä edelleen täytyy alkaa jakamaan; siis niin ei saa tehdä! Koska reaaliluvut ovat hyvin tiheässä, ei ole mitään tavallisessa mielessä konkreettista lukua, jolla voisi ilmaista etäisyyden kahden mielivaltaisen toisiaan lähellä olevan reaaliluvun välillä. Epsilon edustaa abstraktina ideana tätä mielivaltaisen pientä ”väliä” kahden mielivaltaisen lähellä toisiaan olevan reaaliluvun välillä.

maanantai 3. huhtikuuta 2017

Nolla ei ole parillinen tai pariton osa III

Nolla ei ole parillinen tai pariton osa III


Kun nyt varmaan aiheen ensimmäiselle osalle on jo tarpeeksi naurettu (tai nauru on vasta todella alkamassa, mikä aiheen osan III kannalta voi olla positiivinen asia (paitsi jos nauraessaan ei kykene keskittymään osan III asiaan), mutta ehdottomasti ei aidosti positiivinen asia), so. opettavainen asia niin kirjoittajalle kuin lukijalle, on aika teroittaa terävämmin, miksi nolla ei ole parillinen tai pariton.

Perustavin seikka, mikä puhuu otsikon väitteen puolesta on matemaattis-filosofisesti ottaen moraalinen: Nollaa ei saa mitätöidä ja pitää ”tasa-arvoisena” muiden lukujen kanssa, koska se selkeästi ei sitä ole. Aina kun 0 on mukana, on sen erityisominaisuuksia noudatettava tai tuloksena on ristiriitoja tai suoranaisia matemaattisia laittomuuksia.

Erityisesti nolla tuo mukanaan ehdottoman kiellon jakaa mitään itsellään – lisäksi itsensä jakamisen itsellään. Tämä on aina määrävä ehto nollan ollessa mukana ja tätä ehtoa on noudatettava. Lisäksi kertolaskun yhteydessä nolla on määrävä jopa mihin hyvänsä muiden lukujen ominaisuuksiin nähden: Nollan voidaan sanoa moraalisesti jopa ”neutraloivan” kertolaskun yhteydessä luvun 1 neutraalialkioisuuden nollan omalla perustavammalla ”nollaamis”-identiteetillään; 1 ei moraalisesti ottaen säilytä nollan identiteettiä kertolaskussa, vaan nolla säilyttää itseasiassa omansa.

Formaalis-filosofisesti: Jos luku määritellään parilliseksi ”tasa-arvoisesti” muiden parillisten lukujen kanssa, ts. samalla määritelmällä ”yhtä aikaa”, mutta koska poiketen muista parillisista luvuista tälle "parilliselle" luvulle ei toimi parillisuuden testaamiseen juuri tämä luku itse joissakin kriittisissä tilanteissa ollenkaan, mutta muille toimii, pitäisi hälytyskellojen soida...

Jokaisella parillisella tai parittomalla luvulla tulee olla lopulta aina ja "kaikkialla" jopa kaikki parillisen tai parittoman luvun ominaisuudet. Nollan erityislaatuisuuden myötä jos oletetaan, että nolla olisi parillinen tai pariton, nollaa ei aina voisi käyttää laisinkaan yleisesti parillisen tai parittoman luvun omaisesti, huom. erityisesti 0/0 tai vaikkapa a / 0, jolloin jos a on reaaliluku, olisi ylinumeroituvasti äärettömän monta mahdotonta tilannetta.

Nollan määritteleminen "paloittain" parilliseksi (tai parittomaksi) eri konteksteissa voi toisaalta olla myös nollan itsensä uudelleen määrittelyä eri konteksteihin. Montako "nollaa" on olemassa? Onko olemassa jokin "nolla", jolla voi jakaa? Jos on, kuinka aidosti se silloin on idea alkuperäisestä (jos sellainen on) "numeerisesta" käsitteestä nolla? Ovatko ns. "erinäköiset nollat" rakennettu "alkuperäisestä" nollasta (käyttäen tätä joskus useasti)? Pointti: Onko "alkuperäinen" nolla varmasti aina samassa mielessä nolla, kun se on rakennuspalikkana; voidaanko tuolloin itseasiassa nähdä ikään kuin limittäin tasoja, joissa "alkuperäinen" nolla ei olekaan täsmälleen sama nolla, jotenkin kategoris-kontekstuaalisesti...

Edelleen, jos nyt oletetaan, että emme tiedä, onko nolla parillinen luku, niin tunnetuista parillisista luvuista itseisarvoltaan pienin parillinen luku on 2, jota tyypillisesti käytetään parillisuuden osoittamiseen tai testaamiseen (mikä tietysti on eri asia kuin määritellä luku parilliseksi). On kuitenkin huomattava, että jos sitten 0 on osoitettu jotenkin parilliseksi nimenomaan luvun 2 parillisuusominaisuuksiin tukeutuen, kierretään itseasissa kehää, jos pyritään jakamalla 2:lla jotenkin osoittamaan 0 parilliseksi, yhä uudelleen ja uudelleen, loputtomasti.

Erityisesti eikö mahdollisimman täydellisessä parillisuustestissä pitäisi käyttää juuri mahdollisimman perustavasti parillista lukua itseään testatessa minkä hyvänsä luvun parillisuus? Jos siis testinä on nimenomaan jakolasku, eikö parillisuus pitäisi testata nollalla (0) jakamalla (tosin se on mahdotonta) -- vai onko nolla parillisin luku?

Toisaalta, jos nolla olisi parillisin luku, niin eihän kaikkien (parillisten) lukujen tarvitsisi -- erityisesti ne eivät voisi -- olla parillisimpia...

Ongelmaksi nousee erityisesti (jos parillisuus testataan jakamalla perustavasti "parillisimmalla" luvulla), että 0:lla ei voi jakaa; jos siis nyt nolla osoitettaisiin (määrittely olisi eri asia) parilliseksi jakamalla se itseään suuremalla parillisella luvulla 2:lla, ei tämä todella kerro 0:n parillisuudesta vielä mitään; kyse on itseasissa lopulta jonkinlaisesta epämääräisestä kehäpäätelmästä, jos pyritään osoittamaan nolla vain luvun 2 ominaisuuksiin perustuen parillisimmaksi luvuksi, koska tuolloin olisi sivuutettu kokonaan nollan omat erityislaatuiset ominaisuudet saaden loputtomasti 0 itse ja edelleen jaettiinpa 0 siis millä hyvänsä muulla luvulla kuin itsellään, saadaan joka tapauksessa 0.

Jos nolla olisi parillisin luku, eikö perustava nollan määritelmä ja lisäksi perustavan parillisuuden määritelmän pitäisi olla seikka, joka kertoo tämän asian?  Pointti: Miksi ylipäätään luku 2 on parillinen? Kun tämän näkee, niin miksi ylipäätään luku 0 vastaavasti olisi parillinen? Vastaukseksi ei riitä "kun näyttää, niin on".

Parillisuutta voi hakea symmetrian kautta jotenkin, mutta tämä ei välttämättä riitä aina takaamaan ominaisuuden parillisuutta todella, nollan kanssa tulee ongelma. Nollan idea: ”ei yhtään”, ”ei ollenkaan”, joskus filosofisemmin ”tyhjyys” tai ”hiljaisuus”. Missä näissä on symmetria? Tavallaan sitä on ”äärettömän paljon”, jokaisessa ”pisteessä”, kaikkialla – aivan vastaavasti kuin 0 / a = 0, a ≠ 0.

Tarkastellaan ehtoa a ≠ 0 piittamatta siitä filosofisessa kontekstissa yleisellä tasolla. Mitä on ei yhtään ”jaettuna” jotenkin samalla ei yhtään-seikalla? Vaikea sanoa (”0/0”). Mitä on tyhjyys ”jaettuna” tyhjyydellä? Tyhjyys (0/0(?))? Mitä itseasissa ”jaetaan” ja millä, jos tyhjyys jaetaan itsellään?

Image courtesy of nalinratphi at FreeDigitalPhotos.net

Yllä olevaan kuvaan vielä liittyen kertauksen omaisesti: Montako lasia (lukija saa halutessaan nimittää "laseja" haluamiksiin artefakteiksi) kuvassa on pöydällä? Kaksi. Parillinen määrä. Jos poistamme molemmat lasit pöydältä, montako lasia tuolloin pöydällä on? Nolla. Onko tuolloin lasien lukumäärän näkökulmasta pöydällä parillinen "ei yhtään" lasien lukumäärän kannalta? Nythän pöydällä on "parillinen" tyhjyys minkä hyvänsä -- ei vain poistettujen lasien -- objektin kannalta. Seikkaa "ei yhtään" on pöydän "tyhjyydessä", so pöydän "päällä" tai pöytää vasten "äärettömän paljon", so. seikkaa "ei yhtään" mahtuu mihin hyvänsä 'tyhjään' "äärettömän paljon" ottamatta kantaa edes mitä (konkreettisia objekteja) on "ei yhtään". Onko seikkaa ei yhtään tyhjyydessä nyt parillinen määrä? Onko "äärettömän paljon" parillinen? Ääretön ei ole luku.

Mitä puolestaan on hiljaisuus ”jaettuna” hiljaisuudella? Hiljaisuus? Vai emmekö tiedä? Jos ei ole hiljaisuutta, on ääntä. Ääniä voi jakaa osiin, voiko hiljaisuutta? Mitä se tarkoittaisi? Hiljaisuus olisi vieläkin hiljaisempi tilanteessa, missä on jo hiljaisuus ("0/0"(?))?

Väitän, että aina kun nolla pyritään määrittelemään samalla määritelmällä parilliseksi (tai parittomaksi) kuin mikä hyvänsä luku, kyseessä on lopulta ristiriitoja ja/tai kehäpäätelmän makua tai suoranainen kehäpäätelmä johtuen nollan itsensä väkevämmistä ominaisuuksista muihin lukuihin verrattuna vaikka nolla itseisarvoltaan on se pienin. Totisesti pienikin voi olla suuri!

tiistai 7. maaliskuuta 2017

Neutraalialkio filosofisesti eri kategorioina

Neutraalialkio filosofisesti eri kategorioina

- kuinka erityisesti nolla (0) on "oma lukunsa"



Tämä kirjoitus mm. konkretisoi edellisen kirjoituksen alahuomautusta. Varsinainen pointti on kuitenkin käsitteen neutraalialkio sinänsä pohtiminen – matemaattis-filosfisesti.

Sinänsä jo mahdollisimman yksinkertaisissa neutraalialkiotilanteissa on huomattava itse käsitteen neutraalialkio kannalta filosofis-kategorisesti jotain oleellisesti erilaista, tilannekohtaisesti. Tässä erityisesti voimakas, mutta niin kovin monessa mielessä unohdettu ja aliarvostettu ystävämme nolla (0), on reaaliluvun muodossa oleellisessa osassa.


Image courtesy of ddpavumba at FreeDigitalPhotos.net

Alla oleva tarkastelu rajoittuu reaalilukujen joukkoon.

Miksi kategorisesti neutraalialkiona nolla yhteenlaskun yhteydessä on oleellisesti eri kategoriaa, kuin kertolaskun yhteydessä reaaliluku 1 neutraalialkiona


Sinänsä jo pelkkänä ideana nolla on syvällisempi, monisyisempi sekä monintavoin voimakkaampi ja ”vaarallisempi” kuin idea yksi (1). Myös nyt erityisesti neutraalialkiona nolla edustaa kategorisesti jotain erilaista.

Yksi (1) neutraalialkiona

Olkoon a mielivaltainen reaaliluku. Nyt kaikille a (tapaukseen a = 0 suhtaudumme kuitenkin nyt varauksella) pätee 1 * a = a.

Mutta koska nollalle (0)  pätee lisäksi jokaiselle a toisaalta  0 * a = 0 joka tapauksessa perustuen nollan itsensä väkevään ominaisuuteen, niin lopulta luvun 1 neutraalialkioisuus tilanteessa a = 0 (tarkastelu 1 * a), ei välttämättä – jos ollenkaan – tarkoita samassa mielessä kuin muille reaaliluvuille a, että luku 1 on edes neutraalialkio tilanteessa 1 * 0.

Kertolaskun tapauksessa nollan käyttäytyminen sinänsä ”nollaavana” on jotenkin perustavalla tavalla niin voimakas, että se voi oleellisesti kyseenalaistaa, onko 1 neutraalialkio kertolaskun tapauksessa tilanteessa 1 * 0. Tosin oleellisesti näyttää laskennon näkökulmasta katsoen, että aina 1 * a = a. Tietysti voidaan ajatella, että on yhtä aikaa voimassa 1 * 0 = 0 siten, että 1 olisi samanarvoisesti neutraalialkio kertolaskun yhteydessä nollalle kuin muiden reaalilukujen kanssa ja toisaalta sitten lisäksi 0 * a = 0.

Tosin tämä olisi nollan mitätöimistä: ”Ilmiössä” 0 * a = 0 on perustavasti perustaen kyse perustavasta ideasta, mitä nolla on, niin voimakkaasti, että puhuminen yhdestä neutraalialkiona tapauksessa 1 * 0 = 0 voi olla keinotekoista – jopa virhe! Ilman filosofiaa, ilman kunnollista todella määriteltyä käsitystä nollasta, pelkkä laskennon lauseke 1 * 0 = 0 ei ole riittävä takaamaan, onko 1 todella neutraalialkio tässä kyseisessä tapauksessa.

Arkisesti ilmaistuna: Kun 1:n on kertolaskun tapauksessa määrä olla virallisesti neutraalialkio, niin onko kyse tosiasiassa määrävämmin siitä, että nolla "nollaa" ykkösen (1); sen sijaan, että 1 säilyttäisi nollan identiteetin, nolla säilyttääkin itse oman tietyn kategorisen identiteettinsä nollaamalla (kaikkien muiden reaalilukujen lisäksi) myös 1:n.

Toisin ilmaistuna, 1 ei primäärisesti matemaattis-filosofisesti ottaen säilytä nollan identiteettiä, vaan siis nolla säilyttää primäärisesti oman identiteettinsä perustavan määrävämmän oman ominaisuutensa puitteissa, so. "nollaamis"-ominaisuutensa.

Siis mikä merkityksellisintä: Onko matemaattis-filosofisesti kyse siis itseasiassa siitä, että nolla "neutralisoi" kyseisessä kertolaskussa luvun 1 neutraalialkio-ominaisuuden omalla "vahvemmalla" ja perustavammalla ominaisuudellaan ja vain näyttää, että yksi olisi ko. tilanteessa oleellisesti neutraalialkio. Toisaalta jotenkin "sekundäärisesti" yhden (1) voidaan ajatella olevan tilanteessa neutraalialkion kuitenkin. Toisaalta tätä voisi pitää nollan kannalta filosofisesti moraalisesti ottaen arvelluttavana, siksi erityisesti matemaattis-filosofisena virheenä jopa.

Nolla (0) neutraalialkiona, osa 1

Olkoon a mielivaltainen reaaliluku. Nyt kaikille a pätee 0 + a = a.

Nyt filosofisesti kiinnostava (”kriittinen”) tilanne on, kun a = 0. Kyseessä ei ole filosofisesti ”samanarvoinen” tilanne kuin muiden reaalilukujen.

Matemaattis-filosofisesti kategorisesti ottaen tämä on lisäksi eri kategorian tilanne kuin 1 * 1 = 1 tarkastellessa asiaa neutraalialkion näkökulmasta. Yhden tapauksessa yllä ”yksi on vain kerran itsensä”, nollan tapauksessa rakentamani ilmaisu on jo kummallinen (jopa toisaalta ”epäillyttävä”): ”Ei yhtään lisätään ”määrään” ei yhtään.

Pohdinnan lopputulema on, että kategorisesti neutraalialkiona nolla on ”voimakkaampi” kuin 1, koska
  • kun 1 näyttäisi olevan neutraalialkio nollalle samoin kuin muille reaaliluvuille, ei filosofisesti ottaen luku 1 sitä välttämättä ole, koska ”samaanaikaan” tai joka tapauksessa nollan itsensä ”voimakkaampi” yleinen ominaisuus takaa jo sinällään, että 1 * 0 = 0
  • Nolla itse neutraalialkiona yhteenlaskun yhteydessä on filosofisesti mahdollisesti ”kriittinen tapaus” ainoastaan nollan itsensä kanssa, tapaus 0 + 0 = 0, mikä toisaalta jo osoittaa, että neutraalialkiona nolla yhteenlaskun yhteydessä on kategorisesti erilainen, kuin puolestaan luku 1 neutraalialkiona kertolaskun yhteydessä. Edelleen, nollan neutraalialkioisuuden kanssa ainoa mahdollisesti ”kriittinen” tilanne tulee siis vain nollan itsensä kanssa, myös tässä
Nolla (0) neutraalialkiona, osa 2

”Matemaattinen pizza”-kirjoituksessa tuli esiin ongelma, että voisiko nolla itseasiassa olla positiivinen tai negatiivinen, jos nollaa pidetään positiivisena (mutta ei aidosti positiivisena) kokonaislukuna, jos nolla jaetaan negatiivisella reaaliluvulla.

Oppini mukaan nolla on positiivinen kokonaisluku vaikkakaan ei aidosti positiivinen, mutta jos nolla ei kuitenkaan todella ole toisaalta negatiivinen koskaan, niin nollan neutraalisuus on tällöin ”laajempaa” edelleen kuin esim. kertolaskun yhteydessä luvun 1.

Jos positiivinen nolla jaettuna negatiivisella reaaliluvulla ei tuota negatiivista nollaa, ”neutraloi” nolla lisäksi ainakin luvun negatiivisuuden (melkoinen ominaisuus positiiviselle kokonaisluvulle). Mutta jos nolla jaetaan aidosti positiivisella luvulla, nolla ”neutraloi” itseasiassa aidosti positiivisesta luvusta juuri positiivisuuden aitouden; osamäärän ollessa nolla (0), osamäärä ei voi olla aidosti positiivinen, koska nolla ei ole aidosti positiivinen.

Melkoinen pizza se nolla olisi, jos se voisi olla sekä positiivinen, aidosti positiivinen ja vieläpä toisaalta negatiivinen (mutta olisiko se sitä aidosti?).


Perus aritmetiikan näkökulmasta nolla edustaa sinällään selvästi jo kahden eri kategorian ”neutraalialkiota” (lainausmerkit edellä, koska jälkimmäinen "neutraalialkioisuus" on todella kategorisesti erilaista):

  • nolla yhteenlaskutilanteessa yhteenlaskettavana
  • nolla itse jaettuna millä hyvänsä reaaliluvulla (muulla kuin 0) ”neutraloi” ainakin jakajan negatiivisuuden (ellei sitten negatiivista nollaa todella ole olemassa), toisaalta jos nolla on positiivinen kokonaisluku, nolla jaettaessa aidosti positiivisella reaaliluvulla, neutralisoi aidosti positiivisen jakajan positiivisuuden aitouden

Nyt pääsemmekin edellisten postausten jatko-aiheeseen: Edellä on pyritty perustelemaan, miksi käsite neutraalialkio voi olla mielekästä ymmärtää eri kategorian käsitteinä.

Aliarvostettu ystävämme nolla (0) toisaalta voi olla myös muussa kuin ”laskennon” mielessä neutraali: Nollan neutraalisuus ilmenee väittämäni mukaan myös siten, että nolla ei ole parillinen tai pariton. Toisaalta nyt ”neutraalisuus” tarkoittaa kategorisesti täysin eri asiaa kuin neutraalialkio aiemmin: Kyse on matemaattis-filosofisesti ideasta nolla ilman kannanottoa, kuinka nolla toimii laskutoimitusten yhteydessä.

Yleisemmin ajatellen, jos voidaan hyväksyä, että nolla ei ole pariton tai parillinen, niin eräs ominaisuus, mikä tätä kuvaa, on neutraalisuus tai neutraalialkio kategorisesti muussa kuin totutussa mielessä.


Tämän kirjoituksen loppuhämmennyksenäni totean vielä seuraavaa: Pidän avoimena kysymyksenä, missä mielessä (matemaattis-filosofisesti kategorisesti ottaen) nolla on ylipäätään kokonaisluku, ottamatta kantaa sen mahdolliseen positiivisuuteen.

keskiviikko 1. maaliskuuta 2017

Nolla ei ole parillinen tai pariton osa II

Nolla ei ole parillinen tai pariton osa II



Edellisessä kirjoituksessani perusteluni nollan (0) parillisuutta tai parittomuutta vastaan erityisesti formaalissa osuudessa saattoi vaikuttaa keinotekoiselta. Toisaalta, matemaattis-filosofisen perustelun pitäisi olla riittävä. Otan tässä kirjoituksessa kantaa, miksi niin on.

Palaan nyt uudelleen tavallaan kuitenkin formaaliin perusteluun (tavallaan toisaalta en) otsikon väitteeseen liittyen. Nyt, matematiikka itsessään ei ole erityisesti vain laskemista ja numeroita, vaan oleellisesti kysymys on myös muun muassa ideoiden ymmärtämisestä ja edelleen kuinka matematiikasta sekä matemaattisista ideoista voidaan rakentaa ja johtaa loogisesti mielekkäitä kokonaisuuksia. Jos matematiikkaa ajatellaan vain deduktiivisena tieteenä, niin mistä se matematiikka alunperin tuli? Siis ideat: aksioomat, määritelmät, säännöt päättelylle jne...

Pelkästään tosiasia, kuinka matematiikka ”rakennetaan”, tarkoittaa, että matematiikka jo itsessään on jonkinlaista filosofiaa. Siispä matematiikan formaalia puolta ei tule korostaa matematiikan filosofisen puolen eikä myöskään matematiikan filosofian kustannuksella; kyseessä olisi ”laskennon” korostaminen filosofian kustannuksella, mihin edelleen ”laskento” perustuu, jolloin vaarana olisivat "paradoksit" ja muut mahdolliset kummajaiset. Tästä pääsemme nyt jälleen nollaan (0).

Image courtesy of surasakiStock at FreeDigitalPhotos.net

Tässä blogissa on jo aiemmin todettu nollan idea formaalis-filosofisesti jotenkin (pidän tätä nyt kuitenkin oleellisesti eri asiana kuin nollan määritelmää, sekä mitä nollalla (0) todella kaikkiaan tarkoitetaan). Ideana nolla edustaa esim. neutraali-alkiota, mutta nolla on oleellisesti selvästi jotenkin lisäksi monisyisempi. Itseasiassa jo pelkästään neutraalialkiona nolla on neutraalina selvästi jokseenkin monimuotoinen.

Nyt, jos alkio on neutraali (*), onko alkio todella neutraali, jos se on ei-neutraalien alkioiden tapaan parillinen tai pariton? Tämä itsessään on jo matemaattis-filosofinen kysymys. Tosin vastaus vaikuttaa jokseenkin ilmeiseltä – tiedä sitten onko se (ilmeinen), koska vaikuttaa siltä, että nolla on neutraalina alkiona lisäksi jotenkin ainutlaatuinen verrattuna muihin ideoihin, joita kutsutaan numeroiksi tai luvuiksi. Pointti on, että minkä hyvänsä alkion neutraalisuus pitäisi laajasti kyetä ymmärtämään ja määrittelemään; kyseessä voi olla monisyinen ”ilmiö” (ks. alla alahuomatus (*)).

On myös muistettava lukuisat sudenkuopat, joita nollaan liittyy, ”silmänkääntötemput”, joilla ”osoitetaan” jotain mieletöntä, kuten ”0 = 1” tai ”1 = 2”. Näissä silmänkääntötempuissa on tyypillisesti kyse siitä, että on ”huomaamatta” jaettu nollalla (0). Pointti edellisessä on, että nolla ei ole vain idea numerosta (onko nolla varmasti totutussa mielessä numero?), joka on neutraalialkio, vaan suorastaan ”vaarallinen” alkio, jos sitä käyttää huolimattomasti.

Toki laajemmissa konteksteissa lisäksi ”nolla” voi olla edelleen jotain muuta kuin tämä tuntemamme koulussa esiin tuotu 0 (siis esim. jotain ”laajempaa” kuin reaalilukujen joukon alkio 0).

Tämän kirjoituksen sekundäärinen pointti kuitenkin on, että se mitä kutsutaan matematiikaksi on oleellisesti myös itsessään filosofiaa ja edelleen tämän lisäksi on matematiikan filosofia, mikä on eriasia kuin ensin mainittu. Tästä pääsemme siihen, mikä, mitä ja millainen nolla todella on?


Tämä kirjoitus syntyi lopulta, koska jouduin päivittämään alkuperäistä ”Nolla ei ole parillinen tai pariton”-kirjoitusta liian monta kertaa vieläpä niin, että kirjoituksesta alkoi tulemaan liian pitkä sekä kirjoituksen yhtenäisyys alkoi olemaan epämääräinen... Edelleen nollan tunnettu neutraalisuus oli jätetty siksi pois, että toisaalta nollan on opetettu olevan positiviisen kokonaisluvun (mutta ei aidosti positiivisen), mistä seuraa sinänsä jo hämmennys, että voiko nollaa (0) tuolloin todella kutsua neutraalialkioksi varmuudella (nollan itsensä kontekstissa)... Muistutan tässä yhteydessä jälleen ”Matemaattinen pizza”-kirjoituksessa esiin tuotua ongelmaa nollan yksikäsitteisyyteen liittyen "ilmiöön" negatiivinen ja positiivinen nolla.

(*) On huomattava, että lisäksi idea yhdestä, tuttavallisimmin se on totuttu näkemään muodossa "1", on kertolaskun yhteydessä toisaalta myös jotenkin neutraalialkio: Olkoon a mielivaltainen reaaliluku, mutta ei nolla(!), nyt 1 * a = a. Mutta jälleen ystävämme nolla (0) on jotenkin väkevämpi kuin 1:n neutraalisuus: 1 * 0 = 0, mutta toisaalta 0 * a = 0. Tässä nimenomaan on nähtävissä matemaattis-filosofisesti itse teorian kannalta jotain oleellista.

sunnuntai 12. helmikuuta 2017

Nolla ei ole parillinen tai pariton

Nolla ei ole parillinen tai pariton

(Korjattu 29.4.2017, oh-hoh... Kyllä sitä osaakin väsyneenä mokailla...)

Olen aiemmin kirjoittanut "matemaattisesta pizzasta". Kirjoituksessa tuli esiin vakavia ongelmia nollan (0) kanssa. Esimerkiksi siitä mitä itselleni yliopistossa nollasta on opetettu, seuraa nollan osalta olemassa olevalla aritmetiikalla, että nolla voi itseasiassa olla positiivinen tai negatiivinen!

Tästä seuraa, että monimutkaisissa systeemeissä kummittelee nollan muodossa melkoinen kummitus. Mutta suurempi kummitus nollasta on tullut, kun se on määritelty parilliseksi tai parittomaksi.

Nyt, hyvä lukija, pyydän kärsivällisyyttä lukiessasi tätä kirjoitusta; jotta lukija voi saada käsityksen nollan parillisuuden tai parittomuuden vakavista ongelmista, on kirjoitus luettava ajatuksella loppuun. Matkalla tulee useita vakavia ongelmia, kuten lukija voi huomata.

Perusteluni nollan parillisuutta ja parittomuutta vastaan esitetään tässä kirjoituksessa niin formaalisti kuin matemaattis-filosofisesti. Formaalin osan eräs merkitys on teroittaa sitä, että nolla ei ole positiivinen kokonaisluku muiden positiivisten kokonaislukujen joukossa, tosin ei se ilman filosofiaa vaikuta onnistuvan. Ihan kirjoituksen lopussa on vahvennetulla alkuperäinen varsinainen enemmän filosofis-luonteinen perustelu niin nollan parillisuutta kuin parittomuutta vastaaan.

a) Nolla ei ole parillinen

Lopulta kun olin riittävän useasti kuunnellut YouTubesta videon, jossa väitettiin, että nolla toteuttaa kaikki parillisuuden määritelmät ja on jopa kaikkein parillisin luku, aloin todella huolestua.


Lause: Positiivinen parillinen luku + positiivinen pariton luku on positiivinen pariton luku.

Todistus.


Olkoon 2n joukon parillinen positiivinen kokonaisluku. Nyt 2n + 1 on positiivinen pariton kokonaisluku.

22n + 1 = 4n + 1.

Parillisuustesti 2:lla jakamalla:

½ (4n + 1) = 2+ ½

Jos n > 0, niin tuloksena on pariton luku.

Jos n = 0, niin tuloksena ei ole joukon parillinen tai pariton luku, erityisesti ylipäätään joukon luku, siis kokonaisluku. Lauseen mukaan siis nolla olisi pariton kokonaisluku.

Lisäksi:

Lause 2: Parillinen positiivinen kokonaisluku + parillinen positiivinen kokonaisluku = parillinen positiivinen kokonaisluku.

Todistus.

Olkoon 2n parillinen joukon N luku. Nyt 2n + 2n = 4n.

Parillisuustesti 2:lla jakamalla: 4n / 2 = 2n. Kahden parillisuus takaa nyt, että luku on parillinen.

Jos n = 0, niin parillisuustestiä ei ole! On vain nolla...

b) Nolla voi näyttää parilliselta, mutta ei ole

Joskus myöhemmin löysin suomenkielisestä Wikipediasta tekstin, jonka mukaan nolla on joko parilllinen tai pariton määritelmän mukaan. Tämä vain lisäsi huoltani...

Oletetaan, että nolla on pariton.

Jos ajattelemme positiivisia kokonaislukuja ylipäätään, niin eikö väistämättä toisaalta joka toisen luvun pitäisi johdonmukaisuuden nimissä olla itseasiassa parillinen? Luetellaanpa muutama: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... Selvästi luku 1 on pariton; eikö siis itseasiassa tätä edeltävän positiivisen kokonaisluvun olisi oltava parillisen? Kyseessä olisi itseasiassa 0 (vai onko 0 positiivinen kokonaisluku (erityisesti parillinen sellainen?)?).

Lause 3: Parillisen luvun tulo parittoman luvun kanssa on parillinen. (Todistus harjoitustehtävä)

Nolla ei ole tasa-arvoisessa tilanteessa muiden lukujen kanssa selvästikkään. Jos nyt a on parillinen, niin a * 0 on parillinen, mutta aina "yllättäen" sama luku, nolla (0). Epäillyttävää... Jopa huolestuttavaa... Ei siis riitä takaamaan, että nolla olisi parillinen! (Huom. erityisesti 2 * 0 = 0, mutta tämä ei riitä takaamaan nollan parillisuutta, ks. aiheen tiimoilta osat II ja III sekä pohdintaa nollan neutraalialkioisuudesta.)


Koko asia vaatii oleellisesti jotain uutta: Nollan itsensä mielekkään määrittelyn ja ymmärtämisen. Kyse on siis lisäksi siitä, onko mielekästä edes käyttää tunnettuja parillisuuden määritelmiä nollaan. Nollallahan on paljon erityisiä ominaisuuksia, mitä esim. muilla joukon Q luvuilla ei ole. Mainittakoon esim. 0/0 ja "Matemaattinen pizza"-kirjoituksessani esiin tullut seikka, että nollalla ei ole yksikäsitteistä rationaali-ilmaisua (nolla voidaan rationaali-ilmaisuna ilmaista numeroituvasti äärettömän monellla tavalla joukossa Q siten, että itse "ilmiö" on oleellisesti erilainen kuin muiden lukujen kohdalla).

Niin kauan kun nollaa pidetään tasa-arvoisena muiden lukujen kanssa soveltaen siihen vaikkapa parillisuuden määritelmiä, tuloksena on lopulta hölynpölyä, koska nollaa ei ole ymmärretty.


Formaalin matematiikan keinoin voi olla vaikea huomata otiskon väitettä. Mutta myös matemaattis-filosofisesti formaalissa matematiikassa pitäisi olla järkeä (ks. alempana, erityisesti vahvennettu osa, mikä ottaa oleellisesti kantaan ideaan siitä, mitä se mitä kutsutaan nollaksi, on).

* * *

Tunnettu vanha kysymys, onko matematiikka keksitty vai löydetty, on tässä yhteydessä myös mielenkiintoinen. Joskushan matematiikkaa on kehitetty arjen tarpeiden vuoksi tai tueksi ja sitä myöten sanotaan, että on kenties (myös) "löydetty" matematiikkaa.

Mitä tarkoittaisi reaalimaailman kannalta, että nolla on parillinen? Ei sen tietysti välttämättä mitään erityistä tarvitse tarkoittaa.
Image courtesy of tungphoto at FreeDigitalPhotos.net

Mutta entä jos oletetaan, että pöydällä kaksi juomalasia. Tuolloin niiden lukumäärä on parillinen. Kun pöydältä otetaan toinen juomalaseista pois, on laseja yksi, pariton lukumäärä. Kun ainokainenkin juomalasi poistetaan, niin ei ole yhtään juomalasia pöydällä; onko "ei yhtään juomalasia" lukumäärän näkökulmasta parillinen tilanne? Jos on, niin mitä on silloin parillinen määrä, kun jotain on ei yhtään? Onko esim. filosofisesti ottaen "tyhjyys" (*) parillinen?

Yllä olevan ehkä epämääräisen selostuksen pointti: Filosofisesti on kestämätöntä, että ei yhtään on parillinen; jos jotain ei ole ollenkaan tai ei yhtään olemassa, niin jos tuolloin on kyse parillisesta tilanteesta, on jotain väistämättä olemassa. Siis jos nolla on parillinen, ollaan myös filosofisesti ristiriidassa sen kanssa, että mitään ei ole ollenkaan tai ei yhtään olemassa, jos nolla viittaa filosofisesti "ideaan" ei yhtään tai ei ollenkaan.

Vastaavasti jos nolla on pariton, tulee ristiriita "idean" ei yhtään tai ei ollenkaan kanssa, koska jotain olisi väistämättä filosofisesti ottaen olemassa (Ainakin 1 entiteetti tai objekti. Mutta entä jos tämä "entiteetti" on nolla? Jos tulkinta on mainittu, kehoitan lukijaa palaamaan kirjoituksen alkuun. En tietenkään nyt tarkoita että nolla ("ei yhtään") olisi sama kuin idea "ei mitään", mikä on oleellisesti muuta kuin "ei yhtään".).


Suosittelen, että lukija lukee kirjoituksen useampaan kertaan läpi, jos epäilee kirjoituksen mielekkyyttä. Jos kirjoitus vaikuttaa omituiselta, on se seuraus kirjoituksessa itsessään esiin nostetuista ongelmista.

(*) Filosofisesti ajatellen, jos ajattelemme erityyppisiä "tyhjyyksiä", esim. äänettömyys tai hiljaisuus, niin jos musiikissa ei ole soimassa tietyllä hetkellä (tai tietyllä aikavälillä) yhtään nuottia, onko soivien nuottien lukumäärä tuolloin parillinen tai pariton; montako nuottia soi, jos ei yhtään nuottia soi? Montako nuottia on ei yhtään nuottia? Nolla? Montako se on? (Toivottavasti tähän ei tarvitse vastata äärettömän monta kertaa nolla ja edelleen selittää äärettömän monta kertaa montako se on ja niin edelleen... Vai todistaisiko se (matemaattis-)filosofisesti, että ei yhtään on parillinen tai pariton, jos seikka "montako nolla on" pitäisi selittää äärettömän monta kertaa?)