In English

This blog is written in Finnish and because of very big differences between Finnish and English languages, the translators may give and give (I have tested this) very strange translations. Some posts are posted on my personal English blog too.

perjantai 1. joulukuuta 2017

Oodi epsilonille

Oodi epsilonille

Haluan tuoda esiin painajaiseni jälkeen, kuinka kaunis ja elegantti osa todistustekniikkaa epsilon on.

Oleellista nimenomaan on, että epsilon on aidosti positiivinen kokonaisluku, jolle ei saa asettaa alarajaa. Arkisemmin sanoen tämä tarkoittaa, että epsilonilla ei ole mitään kiinteää alarajaa, mikä olisi > 0.

Näin perusilmaisu epsilon-tyyppisissä todistuksissa jokaiselle ɛ > 0, on mitä kauneimmin ilmaistu; mahdollisimman tarkasti voidaan ”puristaa” todistuksessa "jokin”, esim. raja-arvojen todistuksissa itseisarvon erotus, pienemmäksi kuin epsilon, mikä määritelmän perusteella takaa raja-arvon oikeaksi – nimenomaan koska epsilonille ei saa asettaa alarajaa epsilon-näkökulmasta ajateltuna. 

Lisäksi raja-arvotodistuksissa nimenomaan ystävämme epsilon viime kädessä viimeistään teroittaa, että raja-arvo laskuissa ei ole kyse esim. raja-arvon sijoittamisesta lausekkeeseen suoraan.

Ystävämme epsilon siis viimeistään valaisee, että raja-arvoilmaisuissa muuttuja todella lähestyy määrättyä arvoa tai kasvaa (tai vähenee) ilman rajaa.

Nimenomaan tämä lähestyminen (myös avoimien joukkojen tapauksissa joukon reunaa lähestyminen) antaa ystävällemme epsilon aivan erityisen elegantin olemuksen todistuskokonaisuuksissa. Erityisesti epsilon laskennallisesti ottaen ottaa mahdollisesti kokonaisuuden lomassa mitä moninaisempia muotoja (kuvainnollisesti sanoen), mahdollisesti pienentyessään välillä kuitenkin tekniikan ollessa eleganteimmillaan epsilon ottaa paikkansa ”omana itsenään” täsmälleen lukuna epsilon, josta voimme vain tietää, että se on > 0 ja sille itselleen ei ole asetettu missään välissä mitään alarajaa kokonaisuudessaan.

Epsilonin kunniaksi (artikkelikuva on standardi joka tapauksessa :-) ):

Image courtesy of Sira Anamwong at FreeDigitalPhotos.net

Lisäksi erilaiset ”epsilon-ympäristöt” ovat mitä kaunein tapa nähdä avoimien joukkojen (vaikkapa sitten n-ulotteisten pallojen) mielivaltaisen pieni ympäristö osana jotain todistamista. 

tiistai 14. marraskuuta 2017

Kokonaisluku ASCII:ksi assemblyllä

Positiivisen kokonaisluvun hajoittaminen yksittäisiksi digiteiksi assembly-kielellä

Tässä blogikirjoituksessa rajoitutaan positiiviseen kokonaislukutapaukseen. Menetelmä on joskus noin 20 vuotta sitten keksimäni. En tiedä, ovatko muut ihmiset käyttäneet tällaista metodia aikoinaan konekielellä (assembly) ohjelmoidessa. Metodi voi näyttää kummalliselta ja kömpelöltä, ehkä se sitä onkin -- mene ja tiedä. Kirjoitus perustuu vuonna 2001 Suomen Amiga-käyttäjät ry.:n nettilehdessä julkaistuun artikkeliini.

Aluksi todettakoon, että konekielessä ei ole muuttujia. Jos arkikielessä kuulee assemblyn yhteydessä puhuttavan muuttujista, on kyse itseasiassa muistiosoitteiden arvoista. Jos näkee assembly-listauksen, jossa näyttää olevan selväkielisiä muuttujia, on siis kyse symbolisista muistiosoitteista. Vrt. esim. C-kielessä pointterin osoittaman muistiosoitteen sisältämä arvo: Arvo = *p;.

Oma konekielen osaamiseni rajoittuu lähinnä Motorolan 68k-sarjan prosessorien konekieleen Amiga-ajoiltani, esimerkkikoodikin on myös tämän sarjan prosessorien konekieltä, MC68040-prosessorin, jossa on sisäänrakennettu matematiikkaprosessori.

Itse algoritmi positiivisen kokonaisluvun hajoittamiseksi yksittäisiksi digiteiksi kaikessa kömpelyydessään on seuraava (toimii sellaisenaan myös MC68000:lla):

Olkoon annettuna kokonaisluku m.

Loop:
  • kopioidaan luku m muuttujaan n
  • jaetaan muuttujan n "vasemmanpuoleisin" digit ykkösiin
  • tyhjennetään edellisen jaon jakojäännös
  • jaetaan vielä kerran luku 10:llä
  • nollataan n:stä kaikki muu paitsi jakojäännös
  • haluttu digit on nyt jakojäännöksessä, poimitaan talteen
  • jaetaan luku m 10:llä
  • toistetaan algoritmiä kunnes m = 0
Esimerkkilistaus MC68040:llä käyttäen sen sisäänrakennettua matematiikkaprosessoria:

;---------------------------------------------------------------------------
; Integer2ASCII 32-bittisille etumerkittömille kokonaisluvuille
;---------------------------------------------------------------------------

               MACHINE  68040

               incdir   "Work:Assembler/include"

;---------------------------------------------------------------------------
; Macros and stuff...
;---------------------------------------------------------------------------
LibCall        MACRO
               move.l   \1base,a6
               jsr      \2(a6)
               ENDM

OpenLibrary    equ      -$0228
CloseLibrary   equ      -$019e
Write          equ      -$0030
Output         equ      -$003c

Execbase       equ      4

;---------------------------------------------------------------------------
; The program begins...
;---------------------------------------------------------------------------

   section  Programcode,Code

               movem.l  d2-d7/a2-a6,-(sp)

; Avataan kirjastot

               lea      dosname,a1
               moveq    #0,d0
               LibCall  Exec,OpenLibrary
               move.l   d0,Dosbase

               LibCall  Dos,Output           ; For printing...
               move.l   d0,outfile           ;

               move.l   #234,d0              ; The number to be converted
               lea      Number,a2            ; The digits will be stored here

;---------------------------------------------------------------------------
; Integer2ASCII_32bit, '040 version.
; Uses CPU registers D0-D3,D7 & A2 and FPU register FP0.
;
; - Converts 32 bit unsigned integer given in D0 to ASCII, destination
;   address (where the digits are stored) is given in A2
;---------------------------------------------------------------------------
Integer2ASCII_32bit

               fmove.l  d0,fp0               ; Konvertoitava numero FP0:aan
               moveq    #0,d7

; Lasketaan digittien määrä, n = trunc(LOG10(luku)) + 1

               fadd.x   #0.1,fp0             ; Pyöristysongelman vuoksi
               flog10   fp0                  ; LOG10
               fmove.l  fp0,d7               ; DBF-käskyn vuoksi 1:tä ei lisätä

; Konvertoidaan annettu 32-bittinen kokonaisluku ASCII-muotoon
               
dloop          moveq    #0,d2
               moveq    #0,d3

               move.l   d0,d1                ; Työkopio D0:sta

               fmove.l  d7,fp0
               ftentox.l   fp0               ; FP0 = D = 10^(k-1)
               fmove.l  fp0,d3
goon                                         
               divs.l   d3,d1                ; Luku / D, jakojäännös tippuu
                                             ; automaattisesti
               divsl.l  #10,d2:d1            ; Jako 10:llä vielä kerran;
                                             ; jakojäännös menee D2:een, missä
                                             ; haluttu digit nyt on.
               add.b    #'0',d2              ; Lisätään nollan ASCII-koodi
                                             ; saatuun digittiin
               move.b   d2,(a2)+             ; ja talletetaan saatu ASCII-arvo
               dbf      d7,dloop


               move.b   #10,(a2)             ; Rivinvaihto
               bra.s    printthenumber

justzero       move.b   #'0',(a2)+
               move.b   #10,(a2)

printthenumber lea      Number,a0
               bsr      Print                ; Print the number...

;--------------------------------------------------------------------------
; Clean up
;--------------------------------------------------------------------------

CleanUp
               move.l   Dosbase,d0
               beq.s    Pois
               move.l   d0,a1
               LibCall  Exec,CloseLibrary

Pois           movem.l  (sp)+,d2-d7/a2-a6
               clr.l    d0
               rts

;--------------------------------------------------------------------------
; A0:ssa tekstin alkuosoite
;--------------------------------------------------------------------------
Print          move.l   a0,d2
etsi_0         tst.b    (a0)+
               bne.s    etsi_0
               subq.l   #1,a0
               sub.l    d2,a0
               move.l   a0,d3
               move.l   outfile,d1
               LibCall  Dos,Write
               rts

;--------------------------------------------------------------------------
; Constants
;--------------------------------------------------------------------------
dosname        dc.b     "dos.library",0
               even

;---------------------------------------------------------------------------
; "Variables"
;---------------------------------------------------------------------------
   section  Muuttujat,DATA

Dosbase        dc.l     0
outfile        dc.l     0
Number         dc.b     0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0

               end


Halutun digitin voisi toisaalta jakaa myös suoraan jakojäännökseen. Yllä oleva koodi on sellaisenaan ikivanha koodini. Jätän pois 16-bittisille positiivisille kokonaisluvuille rakentamani koodin, jossa ei käytetä matematiikkaprosessoria.

Kuten koodista käy ilmi Amigassa Motorolan prosessoreissa kummittelee pyöristysongelma, minkä vuoksi saatuun lukuun on lisättävä "pieni" arvo.


Copyright : get4net / 123RF Stock Photo

Vertailun vuoksi vielä kokonainen C-kielinen ohjelma, joka tekee saman, kuin edellä esitetty assembly-kielinen ohjelma:



Koodi on kuvan muodossa, jottei Bloggeri tulkitse koodia JavaScriptiksi tai HTML-koodiksi.

Kuten koodista käy ilmi, on sisäisen pyöristysongelman vuoksi 68k-Amigassa "pyöristystä" avitettava. Pentium-prosessoreissa en ole törmännyt samalla ANSI C-koodilla vastaavaan pyöristysongelmaan.

Helpommin yksittäisen digitin kokonaisluvusta saisi poimittua korkeamman tason ohjelmointikielillä (kuten Pascal tai Basic-murteet) muuttamalla luku merkkimuotoiseksi ja sitten poimimalla yksittäisen merkin. Myös C-kielellä saman saisi tehtyä toki tehtyä helpommin...

Aikoinaan kun ohjelmointikokemukseni rajoittui suurimmaksi osaksi 68k-assemblyyn, tein yllä olevan kaltaisen ratkaisun tentissä Pascal-kielellä. Sain nolla (0) pistettä, vaikka ohjelma tuotti oikean tuloksen. Ratkaisuani sanottiin huonoksi, toisaalta ei uskottu, että se tuottaa oikean tuloksen (Pentium-prosessoreissa ei tule vastaavaa pyöristysongelmaa, minkä olin ottanut huomioon), eikä koodia vaivauduttu edes testaamaan.

Kiikutin professorille vielä printin putkitetutesta tulostuksesta vaihe vaiheelta, mutta se voisi kuulemma olla tekaistu, eikä todista mitään... Jotain se kyllä todistaa.

tiistai 7. marraskuuta 2017

Matematiikan epätäydellisyydestä II

Matematiikan epätäydellisyydestä osa II


Aiemmin olen kirjoittanut, että niin kauan kun matematiikassa on yksikään paradoksi, matematiikka on jotenkin aina epätäydellistä muistaen myös Gödelin epätäydellisyysteoreeman.

Koska matematiikka on eksaktein tiede, on matematiikan oltava ehdottoman eksaktia ollakseen matematiikkaa itseään. Voi mielekkäästi väittää, että niin kauan kun matematiikassa on minkäänlaista epämääräisyyttä, erityisesti huonosti ja/tai epämääräisesti määriteltyjä elementtejä, matematiikka ei ole edes eksaktia. Tuolloin se on myös jollain tavoin epätäydellistä sekä erityisesti tämän (epätäydellisyyden) seuraukset voivat olla dramaattisia.

Eräs esimerkki suoranaisesta virheellisestä ilmaisusta:

Jos halutaan näyttää, että luku M on äärellinen ja tämä esitetään muodossa M < ∞, niin mikäs tuossa sitten on väärin? M on luku, ääretön ei. Ei olisi esim. mielekästä käyttää ilmaisua M < kerrostalo, missä kerrostalo tarkoittaa fyysistä rakennusta (ja M vaikkapa reaalilukua). Vastaavasti ääretön ja mikä hyvänsä numeerinen arvo ovat runollisesti sanoen (kuka puhuikaan eksaktiudesta?) yhtä kaukana kategorisesti toisistaan kuin itä ja länsi (ilmansuunnan käytännön merkityksessä) toisistaan.

Esim. korrekti tapa ilmaista, että luku M on äärellinen on ilmaista, että jos on olemassa luku G > 0 s.e. |M| < G, niin M on äärellinen.

Kuinka seuraava tulee ilmaista:

Väärä tapa: "a lähestyy ääretöntä." Mitäs vikaa ilmaisussa on? Ääretön ei ole luku.

Esimerkki oikeasta tavasta: "a kasvaa ilman rajaa."

Image courtesy of Stuart Miles at FreeDigitalPhotos.net

Pelkästään nollan (0) kuuluminen joukkoon N sopimusluonteisesti tarkoittaa epämääräisyyttä, toisaalta myös epäeksaktiutta, mikä puolestaan matematiikan alalla edustaa tietynlaista epätäydellisyyttä – nimenomaan eksaktiuden suhteen.

Tämäkään ei ole vähäpätöinen seikka, vaan ottaa vakavasti kantaa nollaan itseensä, onko nolla kokonaisluku, erityisesti positiivinen kokonaisluku, todella.

On huomattava, että joskus epäeksaktius alkutekijöissä (aksioomat) voi johtaa suorastaan kummallisiin näkemyksiin, joita huonoimmillaan tottuu pitämään tosina asioina (vaikka eivät sitä todella olisi)... Erityisesti on ymmärrettävä, että matematiikassa kyseessä ollessa nimenomaan aksioomat, epäeksaktius ja epämääräisyys on tulkittava virheeksi, missä "pienikin virhe" voi olla lopulta suuri.

Olen miettinyt, että, mitä kaikkea Gödel itse asiassa löysi epätäydellisyyslauseensa myötä... Vai todistiko hän vain epätäydellisyyden – vai todistiko hän huomaamattaan epätäydellisyyden sijaan, että matematiikka on virheellistä? Siis entä jos Gödel ei todella osoittanutkaan lopulta ainoastaan, että matematiikka olisi epätäydellistä, vaan hän itseasiassa osoitti, että matematiikka epätäydellisyyslauseensa kattavilla osa-alueilla todella on suorastaan virheellistä?

Kuinka aito virheetön matematiikka voisi edes olla epätäydellistä? Eihän epätäydellinen ”matematiikka” edes olisi matematiikkaa vaan jotain, mikä muistuttaa unelmaa siitä, mitä voi todella sanoa matematiikaksi... Väittämäni: Niin kauan kuin tuntemassamme matematiikassa on ylipäätään toimivana elementtinä epätäydellisyysteoreema, ei kyse edes ole aidosta matematiikasta, vaan jostain mikä muistuttaa unelmaa siitä, mitä me osaamme nyt parhaimmillaan kutsua matematiikaksi.


Image courtesy of pixtawan at FreeDigitalPhotos.net

En tiedä, mitä taannoisissa unissani epsilonista mielestäni todella niin aidosti tavoitin, sillä aamulla en muistanut unista mitään. Olin vain varma, että olen "löytänyt" jotain merkittävää. Löysinkö vilahduksen siitä, mitä voimme sanoa unelmaksi matematiikaksi luullen, että kyse on epsilonista... En tiedä. ...vai löysinkö unessani sittenkin jonkin aidosti oikean tulkinnan, millä olisi merkitystä? Uuden tulkinnan jostain, unieni kautta? Mutta mistä, todella?

Jos haluat lukea vanhat epsilon-kirjoitukseni, voit lukea ne täältä. Kuten johdannosta käy ilmi, olen puolustanut itseäni sekä kirjoittanut itseäni vastaan...

Unieni toisaalta unettomuuteni johdosta  tulin lopulta ajatelleeksi hassua ajatusta: epsilon-Cantorin joukkoa. Cantorin joukko voidaan todistaa ylinumeroituvaksi (lisäksi se on fraktaalinomainen). Erityisesti jos epsilonin edessä on vaikkapa joukon Q kerroin, voidaan rakentaa mitä mielenkiintoisimpia epsilon-Cantorin joukkoja, ns. "skaalautuvia" epsilon-Cantorin-joukkoja...

Lue myös vanha pohditani matematiikan alkuperään liittyen.

sunnuntai 15. lokakuuta 2017

Mitä seuraa epätodesta?

Mitä seuraa loogisesti epätodesta?

Ensimmäisenä matematiikan opiskeluvuotenani meille 1. vuoden opiskelijoille opetettiin, että kun oletus on tosi, on johdonmukaisessa päättelyssä lopputulema myös aina tosi. Epätodesta puolesta sanottiin, että sen seuraus on jotain epämääräistä, ei voida tietää, mitä siitä seuraa.

Johdatus tieteelliseen ajatteluun-kirjan mukaan epätodesta seuraa epätosi. On myös matemaattista logiikkaa käsitteleviä kirjoja, joissa sanotaan epätodesta seuraavan epätosi.

Taas kerran ”pizza-tilanne”. Mutta eiväthän nämä järki-ihmiset aivan väärässä voi olla! Eivät olekaan. Seuraavassa on oma selontekoni ”pizza-tilanteesta”.

Image courtesy of Master isolated images at FreeDigitalPhotos.net

Aidosti semanttisesti mielekkäiden sekä mielekkäästi määriteltyjen käsitteiden avaruudessa epätodesta seuraa aina epätosi. Mutta jos käsiteavaruuden käsitteet ovat ristiriitaisesti määriteltyjä ja/tai käsiteavaruus on muutoin sisäisesti ristiriitainen, voi epätodesta seurata tosi, vastaavasti todesta seurata epätosi.

Tuolloin on aika käyttää pesusientä ja pyyhekumia – tai back spacea. Paljon.

Jos käsitteet ovat alun alkuaan olleet epämääräisiä tai ajan saatossa käyneet epämääräisiksi, esim. eri käsitteet ovat ikään kuin liukuneet vastaamaan toisiaan, vaikka tarkoittavat eri asiaa, niin mistä se ensinnäkin kertoo? Ihmisen kielentajun heikentymisestä? Moraalin alentumisesta?

Lisäksi, mistä tiedämme ovatko alkuperäiset oletukset edes tosia vai ”tosia”, toisaalta epätosia vai ”epätosia”?

Ongelmallista epämääräisesti määritellyssä käsiteavaruudessa -- erityisesti sisäisesti ristiriitaisessa -- on, että sellaisesta voi nousta loogisia paradokseja, joita ei erityisesti matematiikassa pitäisi olla; sillä väitän, että niin kauan kuin matematiikassa on yksikään paradoksi, ilmentää tämä vain matematiikan epätäydellisyyttä, so. jossain on ”virhe” (tai ”virheitä”), so. epämielekkäitä lähtökohtia ja/tai aksioomia ja/tai määritelmiä. Tai sitten kyse yksinkertaisesti on virheestä tai virheistä (lisäksi).


Toisaalta voisin kysyä itseltäni paradoksien osalta: Olenko liian kielteinen paradoksien suhteen? Toisaalta jotenkin voin perustella kielteisyyteni.

maanantai 4. syyskuuta 2017

Nollalla jakamisesta

Virallisesta(?) perustelusta miksi nollalla ei voi jakaa


Eräässä suomenkielisessä YouTube-videossa selitettiin, miksi nollalla ei voi jakaa. Kyseinen perustelu toimii (jotenkin) kaikille muille luvuille paitsi nollalle (0), minkä tapauksessa perustelu johtaa mielettömyyteen.

Nolla ei ole siis ”tasa-arvoinen” tai tasaveroinen luku muiden lukujen kanssa, vaikka videossa niin väitetään. Jos siis nolla olisi tasaveroinen muiden lukujen kanssa, toimisi tämä perustelu myös nollalle itselleen.

Jos perustelu ei toimi nollalle itselleen, perustelua on syytä tarkistaa, minkä teemme tämän kirjoituksen lopussa.

Ongelma on, että liikkeelle lähdetään ilmaisusta, että jokin määrittelemätön jolle ei ole määriteltyä arvoa olisi ”jotain”. Tuolloin saadaan jokin tulos, epäilemättä jonkinlainen ristiriita, mutta koska lähtökohta on määrittelemätön, ei matemaattis-loogisesti epätosi tai tosi, niin saatu ”ristiriitakaan” ei ole tavanomaisessa merkityksessä ristiriita, jolloin saadun tai saatujen ”ristiriitojen” tulkinta on erilaista. Erityisesti saatu ristiriita ei ole riittävä perustelu nollalla jakamisen mahdottomuudelle.

Oleellista on nyt ymmärtää, että formaalisti voidaan nähdä ristiriitoja, mutta jotta voisi ymmärtää, mitä ne todella tarkoittavat, on asia nähtävä matemaattis-filosofisesti; muutoin varsinainen kysymyskään ei aukea.

Katsotaanpa nyt videon esimerkkiperustelu seikalle ”miksi nollalla ei voi jakaa”:

1/0 = jotain
jotain * 0 = 1
luku * 0 = 0
Ristiriita.

Nyt siis on oleellista huomata, että lähtökohta 1/0 ei ole matemaattis-loogisesti epätosi tai tosi vaan määrittelemätön, jolloin mitä nyt ”ristiriita” voi tarkoittaa? Voiko siitä sinällään tehdä mitään matemaattis-loogisia johtopäätöksiä? Ovatko ne riittäviä?

Nyt, jos käytämme perustelua tilanteelle 0/0, saamme (selvyyden vuoksi lähdetään liikkeelle murtolukuesityksestä):







Yllä oleva "on ekvivalentti" seuraaville (vaihe vaiheelta):

0 * 1 = jotain * 0
0 = jotain * 0

Pysähdymme tähän. Tilanteeseen 0 = 0, palaamme myöhemmin.

Viimeinen lauseke toteutuu, jos jotain on mikä hyvänsä joukon R luku, myös 0. Siis nyt esim. olisi voimassa 0/0 = 0, mikä johtaa ristiriitaan (aritmeettisessa tarkastelussa). Miksi?

Ymmärtämisen helpottamiseksi käyttäkäämme johdantona esimerkkinä 2. asteen yhtälöä, jolla on maksimissaan 2 juurta. Nämä eivät ole yhtä aikaa voimassa; riippuu, missä kohtaa reaaliakselia tarkastellaan, onko yhtälö tosi, jolloin ratkaisu on esim. x1 tai x2.

0/0-tarkastelussamme puolestaan ”ollaan samassa pisteessä, 0”, jossa jotain saisi kaikki reaalilukuarvot. ”Ratkaisussa” looginen konnektiivi olisi siis ja ei tai. Siis jotain voisi olla esim. 0 ja 2, mutta koska 0 ≠ 2, oltaisiin aritmeettisessa ristiriidassa.

On huomattava, että laskennallisesti saadaan ristiriita, mutta koska lähtökohta oli määrittelemätön, ei epätosi tai tosi, niin ristiriidan voidaan sanoa olevan itseasiassa ”erillään” lähtökohdasta, tarkemmin: riittämätön perustelu määrittelemättömälle.

Perustelusta huomaa selvästi, että ristiriitoja on ylinumeroituvasti äärettömän monta, minkä pohjalta voi otaksua, että lähtökohta, 0/0, on ”enemmän virheellinen tulos”, kuin tavanomaisessa mielessä ristiriita sinänsä.



Nähdäksemme selvästi miksi nolla ei ole ”tasa-arvoinen” tai tasaveroinen luku muiden lukujen kanssa, tarkastellaan nyt seuraavaa (lähtökohdasta sinällään asian näkee tosin triviaalisti suoraan):

Nyt, yllä
0 = jotain * 0 toteutuu siis kaikille reaaliluvuille. Entä jos jotain = 2? Saamme,
0 = 2 * 0 = 0
toisaalta nyt lähtökohtaisesti (lähtökohta on virhe), kun jotain = 2, lähtökohta on


Nyt, 2 * 0 = 0 * 1 = 0. Tulos on aritmeettisesti mielekäs tulos, mutta 0/0 ≠ 2, koska 0/0 on määrittelmätön. Edelleen tästä siis seuraa, että nolla ei ole ”tasa-arvoinen” tai tasaveroinen luku muiden lukujen kanssa! Jos olisi, seuraisi siitä siis esim. 0 = 2 = 3, mikä ei pidä paikkansa (ks. yllä).

Tässä on esimerkkitilanne, missä lähdetään ns. ”epätodesta” liikkeelle ja saadaan ”tosi”, mikä on itseasiassa ("jonkinlainen") ristiriita. Rautalangasta: 2 * 0 = 0 * 1 = 0 on tosi "totutussa" aritmeettisessa kontekstissa, mutta 0/0-kontekstissa ei itseasiassa epätosi vaan järjetön tulos, koska mm. 0/0 ≠ 0.

Lisäksi tästä huomaamme, että videossa esitettyä perustelua on syytä tarkistaa, koska siinä on käytetty nimenomaan nollaa (0) osana perustelua, mikä ei toimi tapaukselle 0/0.

Eräs sinänsä triviaali matemaattis-filosofinen vanha tuttu huomio, minkä tässä esitetty 0/0-pohtiminen lisäksi tuo tykö: ”Äärettömän monta” ja ”äärettömän suuri” ovat eri asioita. Esimerkiksi joukossa N on äärettömän monta lukua, mutta mikään niistä ei ole ääretön (ääretön ei ole ylipäätään luku).


Palatkaamme nyt tilanteeseen

0 = jotain * 0

Tämän kanssa ekvivalenttia on 0 = 0. On tietysti totta, että 0 = 0.

Nyt, jos olettaisimme, että todella emme voisi lähtökohtaisesti ymmärtää ollenkaan ilmaisua 0/0 ja päätyisimme formaalisti tilanteeseen 0 = 0 lopulta, tarkoittaisiko se, että 0/0 on matemaattis-loogisesti mielekäs, ”tosi”, ilmaisu, koska 0 = 0 on tosi?

Tärkeää on huomata, että jos lähtökohta on epämielekäs, mutta saadaan ”jotain totta”, tässä 0 = 0, niin vaaran paikkana on tulkita epämielekäs tulos mielekkääksi. Erityisen ongelmallista tässä esitetyssä perustelussa nollalla jakamisen ”kiellolle” on, että lähtökohtana käytetään määrittelemätöntä tulosta, mistä seuraa ”mitä vain”, mikä ei osoita sinällään muuta, kuin että lähtökohta sinänsä jo on virhe.

Laskutoimitukset äärettömään liittyen ovat ns. sopimuksia. Tapauksessa 0/0 voidaan sanoa olevan kysymys määrittelystä. Jos 0/0:sta lähdetään liikkeelle, saadaan loputtomasti virheitä, ongelmia. Perustelun lähtökohtana ei voi olla määrittelemätön olettamalla sille jokin arvo ja alkaa perustelemaan aritmeettisesti ongelmaa, kun kysymyksessä on määritelmäkysymys. Aritmeettinen perustelu on selvästi riittämätön.



Kertauksen vuoksi: Pelkkä matemaattinen formaliikka ei ole matematiikkaa vaan laskentoa. Vasta matemaattis-filosofisella, avaralla näkemyksellä voi todella ymmärtää aitoja matemaattisia probleemoita ja lisäksi luoda uutta matematiikkaa.

maanantai 3. huhtikuuta 2017

Nolla ei ole parillinen tai pariton osa III

Nolla ei ole parillinen tai pariton osa III


Kun nyt varmaan aiheen ensimmäiselle osalle on jo tarpeeksi naurettu (tai nauru on vasta todella alkamassa, mikä aiheen osan III kannalta voi olla positiivinen asia (paitsi jos nauraessaan ei kykene keskittymään osan III asiaan), mutta ehdottomasti ei aidosti positiivinen asia), so. opettavainen asia niin kirjoittajalle kuin lukijalle, on aika teroittaa terävämmin, miksi nolla ei ole parillinen tai pariton.

Perustavin seikka, mikä puhuu otsikon väitteen puolesta on matemaattis-filosofisesti ottaen moraalinen: Nollaa ei saa mitätöidä ja pitää ”tasa-arvoisena” muiden lukujen kanssa, koska se selkeästi ei sitä ole. Aina kun 0 on mukana, on sen erityisominaisuuksia noudatettava tai tuloksena on ristiriitoja tai suoranaisia matemaattisia laittomuuksia.

Erityisesti nolla tuo mukanaan ehdottoman kiellon jakaa mitään itsellään – lisäksi itsensä jakamisen itsellään. Tämä on aina määrävä ehto nollan ollessa mukana ja tätä ehtoa on noudatettava. Lisäksi kertolaskun yhteydessä nolla on määrävä jopa mihin hyvänsä muiden lukujen ominaisuuksiin nähden: Nollan voidaan sanoa moraalisesti jopa ”neutraloivan” kertolaskun yhteydessä luvun 1 neutraalialkioisuuden nollan omalla perustavammalla ”nollaamis”-identiteetillään; 1 ei moraalisesti ottaen säilytä nollan identiteettiä kertolaskussa, vaan nolla säilyttää itseasiassa omansa.

Formaalis-filosofisesti: Jos luku määritellään parilliseksi ”tasa-arvoisesti” muiden parillisten lukujen kanssa, ts. samalla määritelmällä ”yhtä aikaa”, mutta koska poiketen muista parillisista luvuista tälle "parilliselle" luvulle ei toimi parillisuuden testaamiseen juuri tämä luku itse joissakin kriittisissä tilanteissa ollenkaan, mutta muille toimii, pitäisi hälytyskellojen soida...

Jokaisella parillisella tai parittomalla luvulla tulee olla lopulta aina ja "kaikkialla" jopa kaikki parillisen tai parittoman luvun ominaisuudet. Nollan erityislaatuisuuden myötä jos oletetaan, että nolla olisi parillinen tai pariton, nollaa ei aina voisi käyttää laisinkaan yleisesti parillisen tai parittoman luvun omaisesti, huom. erityisesti 0/0 tai vaikkapa a / 0, jolloin jos a on reaaliluku, olisi ylinumeroituvasti äärettömän monta mahdotonta tilannetta.

Nollan määritteleminen "paloittain" parilliseksi (tai parittomaksi) eri konteksteissa voi toisaalta olla myös nollan itsensä uudelleen määrittelyä eri konteksteihin. Montako "nollaa" on olemassa? Onko olemassa jokin "nolla", jolla voi jakaa? Jos on, kuinka aidosti se silloin on idea alkuperäisestä (jos sellainen on) "numeerisesta" käsitteestä nolla? Ovatko ns. "erinäköiset nollat" rakennettu "alkuperäisestä" nollasta (käyttäen tätä joskus useasti)? Pointti: Onko "alkuperäinen" nolla varmasti aina samassa mielessä nolla, kun se on rakennuspalikkana; voidaanko tuolloin itseasiassa nähdä ikään kuin limittäin tasoja, joissa "alkuperäinen" nolla ei olekaan täsmälleen sama nolla, jotenkin kategoris-kontekstuaalisesti...

Edelleen, jos nyt oletetaan, että emme tiedä, onko nolla parillinen luku, niin tunnetuista parillisista luvuista itseisarvoltaan pienin parillinen luku on 2, jota tyypillisesti käytetään parillisuuden osoittamiseen tai testaamiseen (mikä tietysti on eri asia kuin määritellä luku parilliseksi). On kuitenkin huomattava, että jos sitten 0 on osoitettu jotenkin parilliseksi nimenomaan luvun 2 parillisuusominaisuuksiin tukeutuen, kierretään itseasissa kehää, jos pyritään jakamalla 2:lla jotenkin osoittamaan 0 parilliseksi, yhä uudelleen ja uudelleen, loputtomasti.

Erityisesti eikö mahdollisimman täydellisessä parillisuustestissä pitäisi käyttää juuri mahdollisimman perustavasti parillista lukua itseään testatessa minkä hyvänsä luvun parillisuus? Jos siis testinä on nimenomaan jakolasku, eikö parillisuus pitäisi testata nollalla (0) jakamalla (tosin se on mahdotonta) -- vai onko nolla parillisin luku?

Toisaalta, jos nolla olisi parillisin luku, niin eihän kaikkien (parillisten) lukujen tarvitsisi -- erityisesti ne eivät voisi -- olla parillisimpia...

Ongelmaksi nousee erityisesti (jos parillisuus testataan jakamalla perustavasti "parillisimmalla" luvulla), että 0:lla ei voi jakaa; jos siis nyt nolla osoitettaisiin (määrittely olisi eri asia) parilliseksi jakamalla se itseään suuremalla parillisella luvulla 2:lla, ei tämä todella kerro 0:n parillisuudesta vielä mitään; kyse on itseasissa lopulta jonkinlaisesta epämääräisestä kehäpäätelmästä, jos pyritään osoittamaan nolla vain luvun 2 ominaisuuksiin perustuen parillisimmaksi luvuksi, koska tuolloin olisi sivuutettu kokonaan nollan omat erityislaatuiset ominaisuudet saaden loputtomasti 0 itse ja edelleen jaettiinpa 0 siis millä hyvänsä muulla luvulla kuin itsellään, saadaan joka tapauksessa 0.

Jos nolla olisi parillisin luku, eikö perustava nollan määritelmä ja lisäksi perustavan parillisuuden määritelmän pitäisi olla seikka, joka kertoo tämän asian?  Pointti: Miksi ylipäätään luku 2 on parillinen? Kun tämän näkee, niin miksi ylipäätään luku 0 vastaavasti olisi parillinen? Vastaukseksi ei riitä "kun näyttää, niin on".

Parillisuutta voi hakea symmetrian kautta jotenkin, mutta tämä ei välttämättä riitä aina takaamaan ominaisuuden parillisuutta todella, nollan kanssa tulee ongelma. Nollan idea: ”ei yhtään”, ”ei ollenkaan”, joskus filosofisemmin ”tyhjyys” tai ”hiljaisuus”. Missä näissä on symmetria? Tavallaan sitä on ”äärettömän paljon”, jokaisessa ”pisteessä”, kaikkialla – aivan vastaavasti kuin 0 / a = 0, a ≠ 0.

Tarkastellaan ehtoa a ≠ 0 piittamatta siitä filosofisessa kontekstissa yleisellä tasolla. Mitä on ei yhtään ”jaettuna” jotenkin samalla ei yhtään-seikalla? Vaikea sanoa (”0/0”). Mitä on tyhjyys ”jaettuna” tyhjyydellä? Tyhjyys (0/0(?))? Mitä itseasissa ”jaetaan” ja millä, jos tyhjyys jaetaan itsellään?

Image courtesy of nalinratphi at FreeDigitalPhotos.net

Yllä olevaan kuvaan vielä liittyen kertauksen omaisesti: Montako lasia (lukija saa halutessaan nimittää "laseja" haluamiksiin artefakteiksi) kuvassa on pöydällä? Kaksi. Parillinen määrä. Jos poistamme molemmat lasit pöydältä, montako lasia tuolloin pöydällä on? Nolla. Onko tuolloin lasien lukumäärän näkökulmasta pöydällä parillinen "ei yhtään" lasien lukumäärän kannalta? Nythän pöydällä on "parillinen" tyhjyys minkä hyvänsä -- ei vain poistettujen lasien -- objektin kannalta. Seikkaa "ei yhtään" on pöydän "tyhjyydessä", so pöydän "päällä" tai pöytää vasten "äärettömän paljon", so. seikkaa "ei yhtään" mahtuu mihin hyvänsä 'tyhjään' "äärettömän paljon" ottamatta kantaa edes mitä (konkreettisia objekteja) on "ei yhtään". Onko seikkaa ei yhtään tyhjyydessä nyt parillinen määrä? Onko "äärettömän paljon" parillinen? Ääretön ei ole luku.

Mitä puolestaan on hiljaisuus ”jaettuna” hiljaisuudella? Hiljaisuus? Vai emmekö tiedä? Jos ei ole hiljaisuutta, on ääntä. Ääniä voi jakaa osiin, voiko hiljaisuutta? Mitä se tarkoittaisi? Hiljaisuus olisi vieläkin hiljaisempi tilanteessa, missä on jo hiljaisuus ("0/0"(?))?

Väitän, että aina kun nolla pyritään määrittelemään samalla määritelmällä parilliseksi (tai parittomaksi) kuin mikä hyvänsä luku, kyseessä on lopulta ristiriitoja ja/tai kehäpäätelmän makua tai suoranainen kehäpäätelmä johtuen nollan itsensä väkevämmistä ominaisuuksista muihin lukuihin verrattuna vaikka nolla itseisarvoltaan on se pienin. Totisesti pienikin voi olla suuri!

tiistai 7. maaliskuuta 2017

Neutraalialkio filosofisesti eri kategorioina

Neutraalialkio filosofisesti eri kategorioina

- kuinka erityisesti nolla (0) on "oma lukunsa"



Tämä kirjoitus mm. konkretisoi edellisen kirjoituksen alahuomautusta. Varsinainen pointti on kuitenkin käsitteen neutraalialkio sinänsä pohtiminen – matemaattis-filosfisesti.

Sinänsä jo mahdollisimman yksinkertaisissa neutraalialkiotilanteissa on huomattava itse käsitteen neutraalialkio kannalta filosofis-kategorisesti jotain oleellisesti erilaista, tilannekohtaisesti. Tässä erityisesti voimakas, mutta niin kovin monessa mielessä unohdettu ja aliarvostettu ystävämme nolla (0), on reaaliluvun muodossa oleellisessa osassa.


Image courtesy of ddpavumba at FreeDigitalPhotos.net

Alla oleva tarkastelu rajoittuu reaalilukujen joukkoon.

Miksi kategorisesti neutraalialkiona nolla yhteenlaskun yhteydessä on oleellisesti eri kategoriaa, kuin kertolaskun yhteydessä reaaliluku 1 neutraalialkiona

Sinänsä jo pelkkänä ideana nolla on syvällisempi, monisyisempi sekä monintavoin voimakkaampi ja ”vaarallisempi” kuin idea yksi (1). Myös nyt erityisesti neutraalialkiona nolla edustaa kategorisesti jotain erilaista.

Yksi (1) neutraalialkiona

Olkoon a mielivaltainen reaaliluku. Nyt kaikille a (tapaukseen a = 0 suhtaudumme kuitenkin nyt varauksella) pätee 1 * a = a.

Mutta koska nollalle (0)  pätee lisäksi jokaiselle a toisaalta  0 * a = 0 joka tapauksessa perustuen nollan itsensä väkevään ominaisuuteen, niin lopulta luvun 1 neutraalialkioisuus tilanteessa a = 0 (tarkastelu 1 * a), ei välttämättä – jos ollenkaan – tarkoita samassa mielessä kuin muille reaaliluvuille a, että luku 1 on edes neutraalialkio tilanteessa 1 * 0.

Kertolaskun tapauksessa nollan käyttäytyminen sinänsä ”nollaavana” on jotenkin perustavalla tavalla niin voimakas, että se voi oleellisesti kyseenalaistaa, onko 1 neutraalialkio kertolaskun tapauksessa tilanteessa 1 * 0. Tosin oleellisesti näyttää laskennon näkökulmasta katsoen, että aina 1 * a = a. Tietysti voidaan ajatella, että on yhtä aikaa voimassa 1 * 0 = 0 siten, että 1 olisi samanarvoisesti neutraalialkio kertolaskun yhteydessä nollalle kuin muiden reaalilukujen kanssa ja toisaalta sitten lisäksi 0 * a = 0.

Tosin tämä olisi nollan mitätöimistä: ”Ilmiössä” 0 * a = 0 on perustavasti perustaen kyse perustavasta ideasta, mitä nolla on, niin voimakkaasti, että puhuminen yhdestä neutraalialkiona tapauksessa 1 * 0 = 0 voi olla keinotekoista – jopa virhe! Ilman filosofiaa, ilman kunnollista todella määriteltyä käsitystä nollasta, pelkkä laskennon lauseke 1 * 0 = 0 ei ole riittävä takaamaan, onko 1 todella neutraalialkio tässä kyseisessä tapauksessa.

Arkisesti ilmaistuna: Kun 1:n on kertolaskun tapauksessa määrä olla virallisesti neutraalialkio, niin onko kyse tosiasiassa määrävämmin siitä, että nolla "nollaa" ykkösen (1); sen sijaan, että 1 säilyttäisi nollan identiteetin, nolla säilyttääkin itse oman tietyn kategorisen identiteettinsä nollaamalla (kaikkien muiden reaalilukujen lisäksi) myös 1:n.

Toisin ilmaistuna, 1 ei primäärisesti matemaattis-filosofisesti ottaen säilytä nollan identiteettiä, vaan siis nolla säilyttää primäärisesti oman identiteettinsä perustavan määrävämmän oman ominaisuutensa puitteissa, so. "nollaamis"-ominaisuutensa.

Siis mikä merkityksellisintä: Onko matemaattis-filosofisesti kyse siis itseasiassa siitä, että nolla "neutralisoi" kyseisessä kertolaskussa luvun 1 neutraalialkio-ominaisuuden omalla "vahvemmalla" ja perustavammalla ominaisuudellaan ja vain näyttää, että yksi olisi ko. tilanteessa oleellisesti neutraalialkio. Toisaalta jotenkin "sekundäärisesti" yhden (1) voidaan ajatella olevan tilanteessa neutraalialkion kuitenkin. Toisaalta tätä voisi pitää nollan kannalta filosofisesti moraalisesti ottaen arvelluttavana, siksi erityisesti matemaattis-filosofisena virheenä jopa.

Nolla (0) neutraalialkiona, osa 1

Olkoon a mielivaltainen reaaliluku. Nyt kaikille a pätee 0 + a = a.

Nyt filosofisesti kiinnostava (”kriittinen”) tilanne on, kun a = 0. Kyseessä ei ole filosofisesti ”samanarvoinen” tilanne kuin muiden reaalilukujen.

Matemaattis-filosofisesti kategorisesti ottaen tämä on lisäksi eri kategorian tilanne kuin 1 * 1 = 1 tarkastellessa asiaa neutraalialkion näkökulmasta. Yhden tapauksessa yllä ”yksi on vain kerran itsensä”, nollan tapauksessa rakentamani ilmaisu on jo kummallinen (jopa toisaalta ”epäillyttävä”): ”Ei yhtään lisätään ”määrään” ei yhtään.

Pohdinnan lopputulema on, että kategorisesti neutraalialkiona nolla on ”voimakkaampi” kuin 1, koska
  • kun 1 näyttäisi olevan neutraalialkio nollalle samoin kuin muille reaaliluvuille, ei filosofisesti ottaen luku 1 sitä välttämättä ole, koska ”samaanaikaan” tai joka tapauksessa nollan itsensä ”voimakkaampi” yleinen ominaisuus takaa jo sinällään, että 1 * 0 = 0
  • Nolla itse neutraalialkiona yhteenlaskun yhteydessä on filosofisesti mahdollisesti ”kriittinen tapaus” ainoastaan nollan itsensä kanssa, tapaus 0 + 0 = 0, mikä toisaalta jo osoittaa, että neutraalialkiona nolla yhteenlaskun yhteydessä on kategorisesti erilainen, kuin puolestaan luku 1 neutraalialkiona kertolaskun yhteydessä. Edelleen, nollan neutraalialkioisuuden kanssa ainoa mahdollisesti ”kriittinen” tilanne tulee siis vain nollan itsensä kanssa, myös tässä
Nolla (0) neutraalialkiona, osa 2

”Matemaattinen pizza”-kirjoituksessa tuli esiin ongelma, että voisiko nolla itseasiassa olla positiivinen tai negatiivinen, jos nollaa pidetään positiivisena (mutta ei aidosti positiivisena) kokonaislukuna, jos nolla jaetaan negatiivisella reaaliluvulla.

Oppini mukaan nolla on positiivinen kokonaisluku vaikkakaan ei aidosti positiivinen, mutta jos nolla ei kuitenkaan todella ole toisaalta negatiivinen koskaan, niin nollan neutraalisuus on tällöin ”laajempaa” edelleen kuin esim. kertolaskun yhteydessä luvun 1.

Jos positiivinen nolla jaettuna negatiivisella reaaliluvulla ei tuota negatiivista nollaa, ”neutraloi” nolla lisäksi ainakin luvun negatiivisuuden (melkoinen ominaisuus positiiviselle kokonaisluvulle). Mutta jos nolla jaetaan aidosti positiivisella luvulla, nolla ”neutraloi” itseasiassa aidosti positiivisesta luvusta juuri positiivisuuden aitouden; osamäärän ollessa nolla (0), osamäärä ei voi olla aidosti positiivinen, koska nolla ei ole aidosti positiivinen.

Melkoinen pizza se nolla olisi, jos se voisi olla sekä positiivinen, aidosti positiivinen ja vieläpä toisaalta negatiivinen (mutta olisiko se sitä aidosti?).


Perus aritmetiikan näkökulmasta nolla edustaa sinällään selvästi jo kahden eri kategorian ”neutraalialkiota” (lainausmerkit edellä, koska jälkimmäinen "neutraalialkioisuus" on todella kategorisesti erilaista):

  • nolla yhteenlaskutilanteessa yhteenlaskettavana
  • nolla itse jaettuna millä hyvänsä reaaliluvulla (muulla kuin 0) ”neutraloi” ainakin jakajan negatiivisuuden (ellei sitten negatiivista nollaa todella ole olemassa), toisaalta jos nolla on positiivinen kokonaisluku, nolla jaettaessa aidosti positiivisella reaaliluvulla, neutralisoi aidosti positiivisen jakajan positiivisuuden aitouden

Nyt pääsemmekin edellisten postausten jatko-aiheeseen: Edellä on pyritty perustelemaan, miksi käsite neutraalialkio voi olla mielekästä ymmärtää eri kategorian käsitteinä.

Aliarvostettu ystävämme nolla (0) toisaalta voi olla myös muussa kuin ”laskennon” mielessä neutraali: Nollan neutraalisuus ilmenee väittämäni mukaan myös siten, että nolla ei ole parillinen tai pariton. Toisaalta nyt ”neutraalisuus” tarkoittaa kategorisesti täysin eri asiaa kuin neutraalialkio aiemmin: Kyse on matemaattis-filosofisesti ideasta nolla ilman kannanottoa, kuinka nolla toimii laskutoimitusten yhteydessä.

Yleisemmin ajatellen, jos voidaan hyväksyä, että nolla ei ole pariton tai parillinen, niin eräs ominaisuus, mikä tätä kuvaa, on neutraalisuus tai neutraalialkio kategorisesti muussa kuin totutussa mielessä.


Tämän kirjoituksen loppuhämmennyksenäni totean vielä seuraavaa: Pidän avoimena kysymyksenä, missä mielessä (matemaattis-filosofisesti kategorisesti ottaen) nolla on ylipäätään kokonaisluku, ottamatta kantaa sen mahdolliseen positiivisuuteen (minkä oletusarvoisesti oleellisesti kyseenalaistan perustellusti).