In English

This blog is written in Finnish and because of very big differences between Finnish and English languages, the translators may give and give (I have tested this) very strange translations. Some posts are posted on my personal English blog too.

tiistai 7. maaliskuuta 2017

Neutraalialkio filosofisesti eri kategorioina

Neutraalialkio filosofisesti eri kategorioina

- kuinka erityisesti nolla (0) on "oma lukunsa"



Tämä kirjoitus mm. konkretisoi edellisen kirjoituksen alahuomautusta. Varsinainen pointti on kuitenkin käsitteen neutraalialkio sinänsä pohtiminen – matemaattis-filosfisesti.

Sinänsä jo mahdollisimman yksinkertaisissa neutraalialkiotilanteissa on huomattava itse käsitteen neutraalialkio kannalta filosofis-kategorisesti jotain oleellisesti erilaista, tilannekohtaisesti. Tässä erityisesti voimakas, mutta niin kovin monessa mielessä unohdettu ja aliarvostettu ystävämme nolla (0), on reaaliluvun muodossa oleellisessa osassa.


Image courtesy of ddpavumba at FreeDigitalPhotos.net

Alla oleva tarkastelu rajoittuu reaalilukujen joukkoon.

Miksi kategorisesti neutraalialkiona nolla yhteenlaskun yhteydessä on oleellisesti eri kategoriaa, kuin kertolaskun yhteydessä reaaliluku 1 neutraalialkiona


Sinänsä jo pelkkänä ideana nolla on syvällisempi, monisyisempi sekä monintavoin voimakkaampi ja ”vaarallisempi” kuin idea yksi (1). Myös nyt erityisesti neutraalialkiona nolla edustaa kategorisesti jotain erilaista.

Yksi (1) neutraalialkiona

Olkoon a mielivaltainen reaaliluku. Nyt kaikille a (tapaukseen a = 0 suhtaudumme kuitenkin nyt varauksella) pätee 1 * a = a.

Mutta koska nollalle (0)  pätee lisäksi jokaiselle a toisaalta  0 * a = 0 joka tapauksessa perustuen nollan itsensä väkevään ominaisuuteen, niin lopulta luvun 1 neutraalialkioisuus tilanteessa a = 0 (tarkastelu 1 * a), ei välttämättä – jos ollenkaan – tarkoita samassa mielessä kuin muille reaaliluvuille a, että luku 1 on edes neutraalialkio tilanteessa 1 * 0.

Kertolaskun tapauksessa nollan käyttäytyminen sinänsä ”nollaavana” on jotenkin perustavalla tavalla niin voimakas, että se voi oleellisesti kyseenalaistaa, onko 1 neutraalialkio kertolaskun tapauksessa tilanteessa 1 * 0. Tosin oleellisesti näyttää laskennon näkökulmasta katsoen, että aina 1 * a = a. Tietysti voidaan ajatella, että on yhtä aikaa voimassa 1 * 0 = 0 siten, että 1 olisi samanarvoisesti neutraalialkio kertolaskun yhteydessä nollalle kuin muiden reaalilukujen kanssa ja toisaalta sitten lisäksi 0 * a = 0.

Tosin tämä olisi nollan mitätöimistä: ”Ilmiössä” 0 * a = 0 on perustavasti perustaen kyse perustavasta ideasta, mitä nolla on, niin voimakkaasti, että puhuminen yhdestä neutraalialkiona tapauksessa 1 * 0 = 0 voi olla keinotekoista – jopa virhe! Ilman filosofiaa, ilman kunnollista todella määriteltyä käsitystä nollasta, pelkkä laskennon lauseke 1 * 0 = 0 ei ole riittävä takaamaan, onko 1 todella neutraalialkio tässä kyseisessä tapauksessa.

Arkisesti ilmaistuna: Kun 1:n on kertolaskun tapauksessa määrä olla virallisesti neutraalialkio, niin onko kyse tosiasiassa määrävämmin siitä, että nolla "nollaa" ykkösen (1); sen sijaan, että 1 säilyttäisi nollan identiteetin, nolla säilyttääkin itse oman tietyn kategorisen identiteettinsä nollaamalla (kaikkien muiden reaalilukujen lisäksi) myös 1:n.

Toisin ilmaistuna, 1 ei primäärisesti matemaattis-filosofisesti ottaen säilytä nollan identiteettiä, vaan siis nolla säilyttää primäärisesti oman identiteettinsä perustavan määrävämmän oman ominaisuutensa puitteissa, so. "nollaamis"-ominaisuutensa.

Siis mikä merkityksellisintä: Onko matemaattis-filosofisesti kyse siis itseasiassa siitä, että nolla "neutralisoi" kyseisessä kertolaskussa luvun 1 neutraalialkio-ominaisuuden omalla "vahvemmalla" ja perustavammalla ominaisuudellaan ja vain näyttää, että yksi olisi ko. tilanteessa oleellisesti neutraalialkio. Toisaalta jotenkin "sekundäärisesti" yhden (1) voidaan ajatella olevan tilanteessa neutraalialkion kuitenkin. Toisaalta tätä voisi pitää nollan kannalta filosofisesti moraalisesti ottaen arvelluttavana, siksi erityisesti matemaattis-filosofisena virheenä jopa.

Nolla (0) neutraalialkiona, osa 1

Olkoon a mielivaltainen reaaliluku. Nyt kaikille a pätee 0 + a = a.

Nyt filosofisesti kiinnostava (”kriittinen”) tilanne on, kun a = 0. Kyseessä ei ole filosofisesti ”samanarvoinen” tilanne kuin muiden reaalilukujen.

Matemaattis-filosofisesti kategorisesti ottaen tämä on lisäksi eri kategorian tilanne kuin 1 * 1 = 1 tarkastellessa asiaa neutraalialkion näkökulmasta. Yhden tapauksessa yllä ”yksi on vain kerran itsensä”, nollan tapauksessa rakentamani ilmaisu on jo kummallinen (jopa toisaalta ”epäilyttävä”): ”Ei yhtään lisätään ”määrään” ei yhtään.

Pohdinnan lopputulema on, että kategorisesti neutraalialkiona nolla on ”voimakkaampi” kuin 1, koska
  • kun 1 näyttäisi olevan neutraalialkio nollalle samoin kuin muille reaaliluvuille, ei filosofisesti ottaen luku 1 sitä välttämättä ole, koska ”samaanaikaan” tai joka tapauksessa nollan itsensä ”voimakkaampi” yleinen ominaisuus takaa jo sinällään, että 1 * 0 = 0
  • Nolla itse neutraalialkiona yhteenlaskun yhteydessä on filosofisesti mahdollisesti ”kriittinen tapaus” ainoastaan nollan itsensä kanssa, tapaus 0 + 0 = 0, mikä toisaalta jo osoittaa, että neutraalialkiona nolla yhteenlaskun yhteydessä on kategorisesti erilainen, kuin puolestaan luku 1 neutraalialkiona kertolaskun yhteydessä. Edelleen, nollan neutraalialkioisuuden kanssa ainoa mahdollisesti ”kriittinen” tilanne tulee siis vain nollan itsensä kanssa, myös tässä
Nolla (0) neutraalialkiona, osa 2

”Matemaattinen pizza”-kirjoituksessa tuli esiin ongelma, että voisiko nolla itseasiassa olla positiivinen tai negatiivinen, jos nollaa pidetään positiivisena (mutta ei aidosti positiivisena) kokonaislukuna, jos nolla jaetaan negatiivisella reaaliluvulla.

Oppini mukaan nolla on positiivinen kokonaisluku vaikkakaan ei aidosti positiivinen, mutta jos nolla ei kuitenkaan todella ole toisaalta negatiivinen koskaan, niin nollan neutraalisuus on tällöin ”laajempaa” edelleen kuin esim. kertolaskun yhteydessä luvun 1.

Jos positiivinen nolla jaettuna negatiivisella reaaliluvulla ei tuota negatiivista nollaa, ”neutraloi” nolla lisäksi ainakin luvun negatiivisuuden (melkoinen ominaisuus positiiviselle kokonaisluvulle). Mutta jos nolla jaetaan aidosti positiivisella luvulla, nolla ”neutraloi” itseasiassa aidosti positiivisesta luvusta juuri positiivisuuden aitouden; osamäärän ollessa nolla (0), osamäärä ei voi olla aidosti positiivinen, koska nolla ei ole aidosti positiivinen.

Melkoinen pizza se nolla olisi, jos se voisi olla sekä positiivinen, aidosti positiivinen ja vieläpä toisaalta negatiivinen (mutta olisiko se sitä aidosti?).


Perus aritmetiikan näkökulmasta nolla edustaa sinällään selvästi jo kahden eri kategorian ”neutraalialkiota” (lainausmerkit edellä, koska jälkimmäinen "neutraalialkioisuus" on todella kategorisesti erilaista):

  • nolla yhteenlaskutilanteessa yhteenlaskettavana
  • nolla itse jaettuna millä hyvänsä reaaliluvulla (muulla kuin 0) ”neutraloi” ainakin jakajan negatiivisuuden (ellei sitten negatiivista nollaa todella ole olemassa), toisaalta jos nolla on positiivinen kokonaisluku, nolla jaettaessa aidosti positiivisella reaaliluvulla, neutralisoi aidosti positiivisen jakajan positiivisuuden aitouden

Nyt pääsemmekin edellisten postausten jatko-aiheeseen: Edellä on pyritty perustelemaan, miksi käsite neutraalialkio voi olla mielekästä ymmärtää eri kategorian käsitteinä.

Aliarvostettu ystävämme nolla (0) toisaalta voi olla myös muussa kuin ”laskennon” mielessä neutraali: Nollan neutraalisuus ilmenee väittämäni mukaan myös siten, että nolla ei ole parillinen tai pariton. Toisaalta nyt ”neutraalisuus” tarkoittaa kategorisesti täysin eri asiaa kuin neutraalialkio aiemmin: Kyse on matemaattis-filosofisesti ideasta nolla ilman kannanottoa, kuinka nolla toimii laskutoimitusten yhteydessä.

Yleisemmin ajatellen, jos voidaan hyväksyä, että nolla ei ole pariton tai parillinen, niin eräs ominaisuus, mikä tätä kuvaa, on neutraalisuus tai neutraalialkio kategorisesti muussa kuin totutussa mielessä.


Tämän kirjoituksen loppuhämmennyksenäni totean vielä seuraavaa: Pidän avoimena kysymyksenä, missä mielessä (matemaattis-filosofisesti kategorisesti ottaen) nolla on ylipäätään kokonaisluku, ottamatta kantaa sen mahdolliseen positiivisuuteen.

keskiviikko 1. maaliskuuta 2017

Nolla ei ole parillinen tai pariton osa II

Nolla ei ole parillinen tai pariton osa II



Edellisessä kirjoituksessani perusteluni nollan (0) parillisuutta tai parittomuutta vastaan erityisesti formaalissa osuudessa saattoi vaikuttaa keinotekoiselta. Toisaalta, matemaattis-filosofisen perustelun pitäisi olla riittävä. Otan tässä kirjoituksessa kantaa, miksi niin on.

Palaan nyt uudelleen tavallaan kuitenkin formaaliin perusteluun (tavallaan toisaalta en) otsikon väitteeseen liittyen. Nyt, matematiikka itsessään ei ole erityisesti vain laskemista ja numeroita, vaan oleellisesti kysymys on myös muun muassa ideoiden ymmärtämisestä ja edelleen kuinka matematiikasta sekä matemaattisista ideoista voidaan rakentaa ja johtaa loogisesti mielekkäitä kokonaisuuksia. Jos matematiikkaa ajatellaan vain deduktiivisena tieteenä, niin mistä se matematiikka alunperin tuli? Siis ideat: aksioomat, määritelmät, säännöt päättelylle jne...

Pelkästään tosiasia, kuinka matematiikka ”rakennetaan”, tarkoittaa, että matematiikka jo itsessään on jonkinlaista filosofiaa. Siispä matematiikan formaalia puolta ei tule korostaa matematiikan filosofisen puolen eikä myöskään matematiikan filosofian kustannuksella; kyseessä olisi ”laskennon” korostaminen filosofian kustannuksella, mihin edelleen ”laskento” perustuu, jolloin vaarana olisivat "paradoksit" ja muut mahdolliset kummajaiset. Tästä pääsemme nyt jälleen nollaan (0).

Image courtesy of surasakiStock at FreeDigitalPhotos.net

Tässä blogissa on jo aiemmin todettu nollan idea formaalis-filosofisesti jotenkin (pidän tätä nyt kuitenkin oleellisesti eri asiana kuin nollan määritelmää, sekä mitä nollalla (0) todella kaikkiaan tarkoitetaan). Ideana nolla edustaa esim. neutraali-alkiota, mutta nolla on oleellisesti selvästi jotenkin lisäksi monisyisempi. Itseasiassa jo pelkästään neutraalialkiona nolla on neutraalina selvästi jokseenkin monimuotoinen.

Nyt, jos alkio on neutraali (*), onko alkio todella neutraali, jos se on ei-neutraalien alkioiden tapaan parillinen tai pariton? Tämä itsessään on jo matemaattis-filosofinen kysymys. Tosin vastaus vaikuttaa jokseenkin ilmeiseltä – tiedä sitten onko se (ilmeinen), koska vaikuttaa siltä, että nolla on neutraalina alkiona lisäksi jotenkin ainutlaatuinen verrattuna muihin ideoihin, joita kutsutaan numeroiksi tai luvuiksi. Pointti on, että minkä hyvänsä alkion neutraalisuus pitäisi laajasti kyetä ymmärtämään ja määrittelemään; kyseessä voi olla monisyinen ”ilmiö” (ks. alla alahuomatus (*)).

On myös muistettava lukuisat sudenkuopat, joita nollaan liittyy, ”silmänkääntötemput”, joilla ”osoitetaan” jotain mieletöntä, kuten ”0 = 1” tai ”1 = 2”. Näissä silmänkääntötempuissa on tyypillisesti kyse siitä, että on ”huomaamatta” jaettu nollalla (0). Pointti edellisessä on, että nolla ei ole vain idea numerosta (onko nolla varmasti totutussa mielessä numero?), joka on neutraalialkio, vaan suorastaan ”vaarallinen” alkio, jos sitä käyttää huolimattomasti.

Toki laajemmissa konteksteissa lisäksi ”nolla” voi olla edelleen jotain muuta kuin tämä tuntemamme koulussa esiin tuotu 0 (siis esim. jotain ”laajempaa” kuin reaalilukujen joukon alkio 0).

Tämän kirjoituksen sekundäärinen pointti kuitenkin on, että se mitä kutsutaan matematiikaksi on oleellisesti myös itsessään filosofiaa ja edelleen tämän lisäksi on matematiikan filosofia, mikä on eriasia kuin ensin mainittu. Tästä pääsemme siihen, mikä, mitä ja millainen nolla todella on?


Tämä kirjoitus syntyi lopulta, koska jouduin päivittämään alkuperäistä ”Nolla ei ole parillinen tai pariton”-kirjoitusta liian monta kertaa vieläpä niin, että kirjoituksesta alkoi tulemaan liian pitkä sekä kirjoituksen yhtenäisyys alkoi olemaan epämääräinen... Edelleen nollan tunnettu neutraalisuus oli jätetty siksi pois, että toisaalta nollan on opetettu olevan positiviisen kokonaisluvun (mutta ei aidosti positiivisen), mistä seuraa sinänsä jo hämmennys, että voiko nollaa (0) tuolloin todella kutsua neutraalialkioksi varmuudella (nollan itsensä kontekstissa)... Muistutan tässä yhteydessä jälleen ”Matemaattinen pizza”-kirjoituksessa esiin tuotua ongelmaa nollan yksikäsitteisyyteen liittyen "ilmiöön" negatiivinen ja positiivinen nolla.

(*) On huomattava, että lisäksi idea yhdestä, tuttavallisimmin se on totuttu näkemään muodossa "1", on kertolaskun yhteydessä toisaalta myös jotenkin neutraalialkio: Olkoon a mielivaltainen reaaliluku, mutta ei nolla(!), nyt 1 * a = a. Mutta jälleen ystävämme nolla (0) on jotenkin väkevämpi kuin 1:n neutraalisuus: 1 * 0 = 0, mutta toisaalta 0 * a = 0. Tässä nimenomaan on nähtävissä matemaattis-filosofisesti itse teorian kannalta jotain oleellista.

sunnuntai 12. helmikuuta 2017

Nolla ei ole parillinen tai pariton

Nolla ei ole parillinen tai pariton

(Korjattu 7.3.2017, uh-huh, ei pitäisi kirjoittaa kiirellä väsyneenä)

Olen aiemmin kirjoittanut "matemaattisesta pizzasta". Kirjoituksessa tuli esiin vakavia ongelmia nollan (0) kanssa. Esimerkiksi siitä mitä itselleni yliopistossa nollasta on opetettu, seuraa nollan osalta olemassa olevalla aritmetiikalla, että nolla voi itseasiassa olla positiivinen tai negatiivinen!

Tästä seuraa, että monimutkaisissa systeemeissä kummittelee nollan muodossa melkoinen kummitus. Mutta suurempi kummitus nollasta on tullut, kun se on määritelty parilliseksi tai parittomaksi.

Nyt, hyvä lukija, pyydän kärsivällisyyttä lukiessasi tätä kirjoitusta; jotta lukija voi saada käsityksen nollan parillisuuden tai parittomuuden vakavista ongelmista, on kirjoitus luettava ajatuksella loppuun. Matkalla tulee useita vakavia ongelmia, kuten lukija voi huomata.

Perusteluni nollan parillisuutta ja parittomuutta vastaan esitetään tässä kirjoituksessa niin formaalisti kuin matemaattis-filosofisesti. Formaalin osan eräs merkitys on teroittaa sitä, että nolla ei ole positiivinen kokonaisluku muiden positiivisten kokonaislukujen joukossa, tosin ei se ilman filosofiaa vaikuta onnistuvan. Ihan kirjoituksen lopussa on vahvennetulla alkuperäinen varsinainen enemmän filosofis-luonteinen perustelu niin nollan parillisuutta kuin parittomuutta vastaaan.

a) Ristiriita nollan parillisuuden kanssa


Lopulta kun olin riittävän useasti kuunnellut YouTubesta videon, jossa väitettiin, että nolla toteuttaa kaikki parillisuuden määritelmät ja on jopa kaikkein parillisin luku, aloin todella huolestua.


Lause: Positiivinen parillinen luku + positiivinen pariton luku on positiivinen pariton luku.

Todistus.


Olkoon 2n joukon parillinen positiivinen kokonaisluku. Nyt 2n + 1 on positiivinen pariton kokonaisluku.

22n + 1 = 4n + 1.

Parillisuustesti 2:lla jakamalla:

½ (4n + 1) = 2+ ½

Jos n > 0, niin selvästi tuloksena ei ole joukon pariton tai parillinen luku (ylipäätään ei siis edes kokonaisluku), erityisesti ei parillinen luku joukossa N. Pointti on siis, että koska parillisuustesti ei tuota kokonaislukua, ei testattu luku ole parillinen vaan pariton.

Jos = 0, niin tuloksena on ½, mikä ei ole joukon parillinen tai pariton luku, erityisesti ylipäätään joukon luku, siis kokonaisluku. Lauseen mukaan siis nolla olisi parillinen kokonaisluku.

Lisäksi:

Lause 2: Parillinen positiivinen kokonaisluku + parillinen positiivinen kokonaisluku = parillinen positiivinen kokonaisluku.

Todistus.

Olkoon 2n parillinen joukon N luku. Nyt 2n + 2n = 4n.

Parillisuustesti 2:lla jakamalla: 4n / 2 = 2n. Kahden parillisuus takaa nyt, että luku on parillinen.

Jos n = 0, parillisuustestissä saadaan 0. Siis nolla olisi parillinen. Toisaalta, nyt testi on keinotekoinen: Olisi formaalisti sama asia jakaa suoraan nolla 2:lla ja saada tulokseksi nolla. Toisaalta vaikka 2 * 0 = 0, niin nollan tapauksessa tämä ei takaa nollan parillisuutta, koska a * 0 = 0, olipa a mikä hyvänsä reaaliluku; miksi siis luku 2 osoittaisi nollalle mitään nollan parillisuudesta?

Yritykset todistaa näillä lauseilla nolla parilliseksi ovat nollan ominaisuuksien tuolla puolen. Nolla itse on selvästi väkevämpi kuin muille luvuille toimivat parillisuutta testaavat ominaisuudet – tai nolla on näiden ominaisuuksien tuolla puolen.


Oleellista on huomata, että molemmissa tapauksissa parillisuus seuraa tavallaan nollasta itsestään lauseissa suoraan; on kuin nolla olisi jotenkin filosofisesti ”luomisjärjestyksessä” ennen kuin seikat, jotka toimivat muille luville, mistä seuraa, että samat seikat eivät toimikaan nollalle (tai sitten näyttää, että toimii). Siis jonkinlaisessa filosofisessa mielessä on lopultakin eräänlaista ”kehäpäätelmän” makua edes testata nollan parillisuutta 2:lla.


Toisaalta, voivatko joukon Q luvut ilmentää parillisuutta mitenkään?

Ajoin itseni nollan parillisuutta pohtiessani itseni tällaisen ”hullun” 2-osaisen lauseen (teoreeman) keksimiseen:

1) Jos parillinen positiivinen kokonaisluku jaetaan itseään pienemällä positiivisella parillisella kokonaisluvulla, osamääränä on jaettavaa lukua pienempi positiivinen parillinen kokonaisluku.

2) Jos parillinen positiivinen kokonaisluku jaetaan itseään suuremmalla parillisella positiivisella kokonaisluvulla, osamäärässä nimittäjä on parillinen luku, tällöin tosin kyseessä ei olisi enää kokonaisluku, siis joukon N luku, vaan joukon Q luku.

Tämän lauseen osalla ongelmaksi nollan kohdalla tulisi tapaus, jossa nollalla jaettaisiin.

Alla vielä eräs herännyt huoleni liittyen nollan "parillisuuteen":

Lause 3: Parillisen luvun tulo parittoman luvun kanssa on parillinen. (Todistus harjoitustehtävä)

Nolla ei ole tasa-arvoisessa tilanteessa muiden lukujen kanssa selvästikkään. Oletetaan, että a on mikä hyvänsä pariton luku (vaikkapa irrationaaliluku pii, jolla on loputon desimaalikehitelmä). Jos nyt nolla on parillinen, niin a * 0 on parillinen, mutta aina "yllättäen" sama luku, nolla (0). Epäillyttävää... Jopa huolestuttavaa...


b) Nollan parittomuuden ristiriita

Joskus myöhemmin löysin suomenkielisestä Wikipediasta tekstin, jonka mukaan nolla on joko parilllinen tai pariton määritelmän mukaan. Tämä vain lisäsi huoltani...

Oletetaan, että nolla on pariton.

(Alla oleva on tarkoituksella keinotekoinen, missä tarkoituksella nollan neutraalialkioisuus jätetään huomiotta, pointtina on huomata jotain filosofista.)

Nyt yllä kohdassa a) todistetusta Lauseesta seuraa, että 2 + 0 on (tulkitse: olemassa olevalla aritmetiikalla pitäisi olla, jos nolla on positiivinen kokonaisluku) pariton kaksi. Perustelu: Parillinen positiivinen luku + pariton positiivinen luku on pariton positiivinen luku, mikä siis yllä todistettiin. Nyt, seikka että nolla olisi pariton, veisi siis todisetun Lauseen mukaan pohjan parillisuuden testaamisesta siten, että onko pariton luku (0) jaollinen 2:lla!

Testataanpa mitä kohdassa a) todistettu Lause sanoo parittomasta nollasta:


0 + 0 + 1 = 1

Tilanne on jälleen se, että joudumme testaamaan onko 1 parillinen jakamalla luvun 1 kahdella (2)! Mutta toisaalta edellä tuli jo esiin, että jos nolla (0) oletetaan parittomaksi, voisikin luku 2 olla pariton, jolloin miten 2:lla jakaminen nyt todistaisi parillisuudesta mitään?

Edelleen, nyt tilanne on siis seuraava: pariton positiivinen kokonaisluku + pariton positiivinen kokonaisluku + pariton positiivinen kokonaisluku. Tästä edelleen tuloksena on väistämättä pariton positiivinen kokonaisluku.

Jos laskisimme vastaavasti yhteen 0 + 0 + 0 + 1, saisimme "pariton positiivinen kokonaisluku + pariton positiivinen kokonaisluku + pariton positiivinen kokonaisluku + pariton positiivinen kokonaisluku", mikä olisi parilllinen positiivinen kokonaisluku, jos nolla olisi oletettu parittomaksi positiiviseksi kokonaisluvuksi! Siis luku 1 olisi nyt parillinen!

Lisäksi, jos ajattelemme positiivisia kokonaislukuja ylipäätään, niin eikö väistämättä toisaalta joka toisen luvun pitäisi johdonmukaisuuden nimissä olla itseasiassa parillinen? Luetellaanpa muutama: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... Selvästi luku 1 on pariton; eikö siis itseasiassa tätä edeltävän positiivisen kokonaisluvun olisi oltava parillisen? Kyseessä olisi itseasiassa 0 (vai onko 0 positiivinen kokonaisluku?), jonka parillisuutta kritisoin aiemmin.

Johan on ristiriitoja!


Yllä esitetty "mielettömyys" seuraa nähdäkseni alla esittämästäni puutteesta.

Koko asia vaatii oleellisesti jotain uutta: Nollan itsensä mielekkään määrittelyn ja ymmärtämisen. Kyse on siis lisäksi siitä, onko mielekästä edes käyttää tunnettuja parillisuuden määritelmiä nollaan. Nollallahan on paljon erityisiä ominaisuuksia, mitä esim. muilla joukon Q luvuilla ei ole. Mainittakoon esim. 0/0 ja "Matemaattinen pizza"-kirjoituksessani esiin tullut seikka, että nollalla ei ole yksikäsitteistä rationaali-ilmaisua (nolla voidaan rationaali-ilmaisuna ilmaista numeroituvasti äärettömän monellla tavalla joukossa Q siten, että itse "ilmiö" on oleellisesti erilainen kuin muiden lukujen kohdalla).

Niin kauan kun nollaa pidetään tasa-arvoisena muiden lukujen kanssa soveltaen siihen vaikkapa parillisuuden määritelmiä, tuloksena on lopulta hölynpölyä, koska nollaa ei ole ymmärretty.

Teroittaakseni vielä yllä esitetyn ilmaisun 2 + 0 antaa parittoman kaksi kohdassa a) todistetun Lauseen nojalla ja oletuksella, että nolla on pariton totean seuraavaa: Nolla ei ole tasa-arvoinen luku muiden kanssa, sille ei toimi selvästikkään kaikki (mitkä toimivat ja miten?) normaalit aritmetiikan operaatiot kuten muille luvuille, koska nolla (0) on ominaisuuksiltaan ja luonteeltaan selvästi erilainen luku kuin muut.

Nyt, tilanne on se, että nollalla ei voi selvästikkään laskea kuten muilla luvuilla; ei siihen silloin voi käyttää myöskään mitään tunnettuja (tai tuntemattomia) parillisuuden määritelmiä, ja "osoittaa", ertyisesti määritellä (ks. matemaattis-filosofinen perustelu alempama), nolla (0) parilliseksi tai parittomaksi.


Todettakoon tässä vielä, että jos tämä kirjoitus nollan parillisuuta ja parittomuutta vastaan vaikutti omituiselta, niin videossa johon viittasin kirjoituksen alussa, seikka, että nolla olisi parillisin luku, oli perusteltu siten, että 0:n voi jakaa 2:lla äärettömän monta kertaa... Tällä tavoin nollan parillisuuden osoittamisen totesin filosofisesti ongelmalliseksi aiemmin.


Formaalin matematiikan keinoin voi olla vaikea huomata tätä ilmeistä seikkaa, mutta on muistettava, että matematiikka on tosiolevaista, arkisesti sanonen: Ideoita (jos jollain on jotain sitä vastaan, että matematiikkaa esitetään "jotenkin arkisesti", niin ilmaistaan asia vielä näin: Matematiikka on tosiolevaista, siis ns. ideoiden maailmassa olevaa; erillään reaalimaailman (arjen?) todellisuudesta). Siispä myös matemaattis-filosofisesti formaalissa matematiikassa pitäisi olla järkeä (ks. alempana, erityisesti vahvennettu osa, mikä ottaa oleellisesti kantaan ideaan siitä, mitä se mitä kutsutaan nollaksi, on).

* * *

Tunnettu vanha kysymys, onko matematiikka keksitty vai löydetty, on tässä yhteydessä myös mielenkiintoinen. Joskushan matematiikkaa on kehitetty arjen tarpeiden vuoksi tai tueksi ja sitä myöten sanotaan, että on kenties (myös) "löydetty" matematiikkaa.

Mitä tarkoittaisi reaalimaailman kannalta, että nolla on parillinen? Ei sen tietysti välttämättä mitään erityistä tarvitse tarkoittaa.
Image courtesy of tungphoto at FreeDigitalPhotos.net

Tosin rahaihmiset eivät olisi kovin mielissään, jos tilinsä saldo olisi yllättäen nolla.

Jos esim. rahaihmisellä olisi 2 000 000 euroa tilillä, parillinen määrä, sitten yllättäen 0 euroa, "parillinen" tilanne ("määritelmästä riippuen"), niin ehkä vain rahamaailman liikkeisiin matematiikkaa käyttäväkin saattaisi kiinnostua filosofisesti nollan merkityksestä; onko tuolloin rahaihmisen mielestä merkittävää, onko tilillä parillinen vai pariton määrä rahaa, vaikka ei aiemmin sen syvällisemmin olisi ollut matematiikasta ja sen filosofiasta kiinnostunut?

Mutta entä jos oletetaan, että pöydällä kaksi juomalasia. Tuolloin niiden lukumäärä on parillinen. Kun pöydältä otetaan toinen juomalaseista pois, on laseja yksi, pariton lukumäärä. Kun ainokainenkin juomalasi poistetaan, niin ei ole yhtään juomalasia pöydällä; onko "ei yhtään juomalasia" lukumäärän näkökulmasta parillinen tilanne? Jos on, niin mitä on silloin parillinen määrä, kun jotain on ei yhtään? Onko esim. filosofisesti ottaen "tyhjyys" (*) parillinen?

Yllä olevan ehkä epämääräisen selostuksen pointti: Filosofisesti on kestämätöntä, että ei yhtään on parillinen; jos jotain ei ole ollenkaan tai ei yhtään olemassa, niin jos tuolloin on kyse parillisesta tilanteesta, on jotain väistämättä olemassa. Siis jos nolla on parillinen, ollaan myös filosofisesti ristiriidassa sen kanssa, että mitään ei ole ollenkaan tai ei yhtään olemassa, jos nolla viittaa filosofisesti "ideaan" ei yhtään tai ei ollenkaan.

Vastaavasti jos nolla on pariton, tulee ristiriita "idean" ei yhtään tai ei ollenkaan kanssa, koska jotain olisi väistämättä filosofisesti ottaen olemassa (Ainakin 1 entiteetti tai objekti. Mutta entä jos tämä "entiteetti" on nolla? Jos tulkinta on mainittu, kehoitan lukijaa palaamaan kirjoituksen alkuun. En tietenkään nyt tarkoita että nolla ("ei yhtään") olisi sama kuin idea "ei mitään", mikä on oleellisesti muuta kuin "ei yhtään".).


Suosittelen, että lukija lukee kirjoituksen useampaan kertaan läpi, jos epäilee kirjoituksen mielekkyyttä. Jos kirjoitus vaikuttaa omituiselta, on se seuraus kirjoituksessa itsessään esiin nostetuista ongelmista.

(*) Filosofisesti ajatellen, jos ajattelemme erityyppisiä "tyhjyyksiä", esim. äänettömyys tai hiljaisuus, niin jos musiikissa ei ole soimassa tietyllä hetkellä (tai tietyllä aikavälillä) yhtään nuottia, onko soivien nuottien lukumäärä tuolloin parillinen tai pariton; montako nuottia soi, jos ei yhtään nuottia soi? Montako nuottia on ei yhtään nuottia? Nolla? Montako se on? (Toivottavasti tähän ei tarvitse vastata äärettömän monta kertaa nolla ja edelleen selittää äärettömän monta kertaa montako se on ja niin edelleen... Vai todistaisiko se (matemaattis-)filosofisesti, että ei yhtään on parillinen tai pariton, jos seikka "montako nolla on" pitäisi selittää äärettömän monta kertaa?)

torstai 2. helmikuuta 2017

Matematiikan epätäydellisyydestä

Matematiikan epätäydellisyydestä


Matematiikassa tunnetaan Gödelin epätäydellisyyslause. Arkisesti ottaen se sanoo, että matematiikassa on mielekkäitä väitteitä, joita ei voi todistaa tosiksi tai epätosiksi. Tämä tarkoittaa eri asiaa kuin paradoksi: Paradoksilla tarkoitetaan väitettä, mikä on loogisesti ”yhtä aikaa” sekä tosi että epätosi.

Olen aiemmin kirjoittanut tähän blogiin yhden postauksen paradokseista. Kirjoitus antaa osviittaa tämän kirjoituksen huomiooni, mikä saattaa antaa täydennystä matematiikan ns. epätäydellisyyteen.

Kyseessä ovat nyt nimenomaan paradoksit. Oma vaatimaton jonkinsortin näkemykseni on, että matematiikka ei myöskään silloin ole täydellistä, jos olemassaoleva matematiikan teoria voi johtaa mihinkään niin ”mielettömään” kuin paradoksi!

Jos näyttää siltä, että olemme päätyneet olemassaolevalla matematiikalla paradoksiin, voi olla kyseessä itseasiassa vain epätäydellisesti (tai ”väärin”) asetetut aksioomat tai puuttuu matemaattis-filosofisia käsitekategorioita tai nämä ovat ymmärretty väärin, mikä edelleen viittaa alunperin tehtyyn jonkinlaisen virheeseen tai sitten epätäydellisiin valintoihin ehkä nimenomaan aksioomien puolella.

Kuitenkaan ei ole mielekästä tehdä matematiikasta "purkka-laastari"-viritystä; luoda väkisin uusia ("turhia") käsitteitä, sillä tämä olisi kuin rakentaisi "jonkinlaisia virheitä, virheiden päälle". Erityisesti kyseessä olisi matematiikan epätäydellisyyden lisääminen!

Image courtesy of Stuart Miles at FreeDigitalPhotos.net

Matematiikan opiskeluaikoinani vitsailin, että aksioomat ovat matematiikan ”absoluuttisia totuuksia”. Niitähän ei todisteta, kyseessä on eräänlaisista arkisesti sanoen "sopimuksista" -- "oli miten oli, mutta näin on!" :-) Mutta voivatko mitkään ”absoluuttiset totuudet” perustua kuitenkaan joka tapauksessa väistämättä epätäydelliseen ihmisjärkeen?

Ehkä mitä hulluinta ihmettelyä: Entä jos Gödelin epätäydellisyyslause toisaalta osoittaa matematiikan epätäydellisyyttä, mutta itsessäänkin edustaa sinällään epätäydellisyyttä, kuitenkin?

Lukijaa saattanee kiinnostaa myös vilkaista kirjoitustani Onko Gödelin epätäydellisyyslause välttämätön seuraus matematiikan alkuperästä.

tiistai 3. tammikuuta 2017

Matemaattinen pizza

Matemaattinen pizza”



Koska matematiikka on eksakti tiede (filosofisesti voidaan puhua myös taiteesta; onko se silloin eksaktia? (erityisen filosofisesti ajatellen matematiikka tieteenä ja taiteena ovat sama asia)), on ongelmallista jos virallinen ihmisten luoman matematiikan eksaktius kokee inflaatiota virallisen matematiikan ottaessa liian monia muotoja osakseen (samasta seikasta). Tällöin muodostuu eräänlainen ”matemaattinen pizza”.

Tämä blogi itsessään ei ole virallista matematiikkaa sanan varsinaisessa merkityksessä; erityisesti tätä ei voi pitää oppikirjana. :-)

Mainitsen alla kaksi häiritsevää seikkaa, jotka voivat tuntua vähäpätöisiltä, mutta eivät kuitenkaan ole.

1) Nollasta joukko-opissa

Onko nolla (0) luonnollinen luku, so. kuuluko nolla joukkoon N, so. onko nolla positiivinen kokonaisluku?

Oma oppini on, että nolla on positiivinen kokonaisluku, joten se kuuluu joukkoon N. Tosin nolla ei ole aidosti positiivinen kokonaisluku (oppini mukaan).

Kun nolla luetaan joukkoon N, syntyy joskus kuitenkin ongelma: Induktiotodistus ei välttämättä onnistu laisinkaan, jos nolla luetaan joukkoon N. Tällöin sopimusluonteisesti nolla jätetään pois joukosta N.

Oletetaan nyt tilanne, missä opiskelijan on tentissä todistettava kaikille luonnollisille luvuille, so. joukon N luvuille, että jokin tulos on voimassa. Jos todistaminen ei onnistu, mikäli nolla on osana joukkoa N ja opiskelija on todistanut tuloksen alkaen luvusta 1 kaikille luonnollisille luvuille ja on jättänyt tapauksen nolla (0) käsittelemättä kokonaan, voiko opiskelija saada tehtävästä täydet pisteet?

Sillä jos nolla kuitenkin on joukon N luku, opiskelija on esimerkkitapauksessamme todistanut tuloksen ”vain” luvusta 1 alkaen, erityisesti ei kaikille joukon N luvuille. Edelleen, entä jos tulos tapauksessa nolla johtaa nollalla jakoon? Tuolloin tulos ei edes toimi kaikille joukon N luvuille, mikäli myös nolla (0) on osa joukkoa N.

Mitä voidaan sanoa virallisen matematiikan eksaktiudesta, jos jonkin kuuluminen joukkoon on sopimusluonteista siten, että jokin toisaalta kuuluu joukkoon, mutta voidaan sopimusluonteisesti jättää kuulumatta, jotta jokin onnistuu, mutta toisaalta tällöin johdutaan ristiriitaan jopa jo tehtävänannon kanssa?


Muinaiset ihmiset olivat varovaisia koko nollan kanssa ja jättivät tyhjän tilan paikalle, mihin nykyisin kirjoitetaan nolla (0). Ehkä ihmisen evoluutiossa mitä tulee matematiikan kehittämiseen, on jäänyt ”häntäluu”; nolla on jotenkin niin huomaamaton, että sitä ei aina tule ajatelleeksi, erityisesti sen jopa dramaattisia merkityksiä (vrt. esim. kirjoitukseni nollasta ja äärettömästä, missä esimerkkinä ”nolla luo äärettömän”).

Erityisen pizzaa virallisesta matematiikasta tulee, jos on eri virallisia koulukuntia nollan kuulumisesta joukkoon N siten, että nämä viralliset koulukunnat eivät ole edes tietoisia toistensa näkemyseroista.

”Häntäluu”-seikkaan voi törmätä usein, so. nolla on niin huomaamaton, että sen joskus suorastaan unohtaa.

Jos esim. on koulukunta, joka määrittelee joukon N alkavan luvusta 1 ja sitten sanoo, että joukko Z sisältää kaikki positiiviset ja negatiiviset kokonaisluvut, niin mikä se nolla nyt sitten on joukossa Z? Positiivinen vai negatiivinen – vai vain nolla (kirjaimellisesti). Vai sisältääkö joukko Z kaikki positiiviset ja negatiiviset kokonaisluvut ja neutraalin luvun, so. nollan?

Nolla tosin on hyvin ongelmallinen luku siinä mielessä, että sillä ei esim. ole yksikäsitteistä rationaali-ilmaisua. Tästä pääsemmekin joukkoon Q. Itsekin olen syyllistynyt nollan unohtamiseen välillä joukkoa Q ajatellessani (ks. esim. alla).

Jos sanotaan (olen nyt opettajan roolissa), että joukko Q muodostetaan kaikista joukon Z rationaali-ilmaisuista, täytyy ilmaisua tarkistaa: Dramaattisin virhe olisi 0/0. Toisaalta jos miettii nollan rationaali-ilmaisua, niin niitä on ”yhtä monta”, kuin on joukosssa Z lukuja, so. numeroituvasti äärettömän monta, toisaalta näin on myös muille joukosta Z johdetuille rationaaliluvuille, jos niitä ei ole supistettu.

Kuitenkin nollan tapauksessa kyse on kategorisesti oleellisesti erilaisesta tapauksesta: Nolla jaettuna millä hyvänsä positiivisella kokonaisluvulla ǂ 0 antaa tulokseksi nollan. Samoin ei toimi muille kokonaisluvuille; ei ole muuta kokonaislukua, joka jaettuna millä hyvänsä luvulla (joka on eri kuin kyseinen luku itse) tuottaisi osamääränä itsensä.

Ja edelleen ollaan nollan kanssa pulassa joukossa Q: Jos nolla on positiivinen kokonaisluku (vaikkakaan ei aidosti positiivinen), niin silloinhan nolla jaettuna millä hyvänsä negatiivisella kokonaisluvulla pitäisi tuottaa tuloksena negatiivisen nollan! Voimmeko näin ollen olla aina varmoja olemmeko tekemisissä negatiivisen vai positiivisen nollan (0) kanssa, kun kyse on täsmälleen nollasta (0)?

Image courtesy of Stuart Miles at FreeDigitalPhotos.net


2) Mitä seuraa loogisesti epätodesta?

Oma oppini on, että ei voida sanoa, mitä epätodesta seuraa; se on jotain epämääräistä, erityisesti ei voi sanoa, että epätodesta seuraa aina epätosi. Tämän voin itsekin allekirjoittaa.

Erityisen ongelmallista tietysti sitten on, jos on lähdetty epätodesta liikkeelle ja lopputulos näyttäisi olevan ”tosi”. Käytän edellä lainausmerkkejä, koska totuusarvo ei voi olla tosi samassa mielessä, kuin jos olisi lähdetty todella todesta oletuksesta.

keskiviikko 21. joulukuuta 2016

Alkuihmisten kakunjako

Alkuihmisten kakunjako


Kuulin radiossa sanottavan, että joulu on ruokajuhla. Näin joulun kynnyksellä tuli taas palattua vanhaan luentomonisteeseen, joka liittyy kurssiin, jota en ole suorittanut (ja jolla en ole ollut). Mitä tekemistä tällä sitten on joulun kanssa?

Kirjan ensimmäinen luku käsittelee matematiikan varhaishistoriaa sisältäen kevennyksenä vitsin muinaisten ihmisten probleemasta kakun jakamisesta kahtia:

"Jaetaan kakku niin, että minä jaan sen ensin mielestäni kahtia ja sitten sinä valitset haluamasi puoliskon. Näin kumpikin saa mielestään vähintään puolet!"

"Entä jos meitä olisikin kolme?"

Image courtesy of Serge Bertasius Photography at FreeDigitalPhotos.net

En malttanut olla miettimättä tuota kysyjän kysymystä. Probleemasta tulee tarkkaanajateltuna hyvin monimutkainen -- vaikeimmillaan mahdoton!

Päädyin seuraavaan vitsiin (näkökulmasta riippuen voi rakentaa usempiakin vitsejä):

Oletetaan, on kolme henkilöä, a, b ja c, jotka haluavat jakaa kakun siten, että kukin saa kolmasosan (yhtä suuren). Kuinka toimitaan?

Yksi sanoo, olkoon tämä a (a luottaa omaan arvostelukykyynsä mielestään riittävästi), että b ja c saavat valita kumpi leikkaa kakun mielestään kolmeen yhtä suureen osaan; se joka ei leikkaa, saa valita (ei kuitenkaan a), minkä kolmanneksista valitsee; tämän jälkeen leikannut voisi antaa a:n valita jäljellä olevista paloista sen, mikä mielestään on koko kakusta yksi kolmannes; jäljelle jäänyt pala lankeaa leikkaajalle.

Jatkovitsi omalle vitsille:

Koska henkilöt on valittu ”abstraktisti”, toimii tämä periaatteessa aina (ei kuitenkaan käytännössä) oli kolme (todellista) henkilöä valittu miten hyvänsä henkilöiksi a, b ja c siten, että henkilöiden psykologinen "dynamiikka" on samoin valittu. Mutta entä jos henkilöt a, b ja c eivät olisikaan todellisia?

Ongelmalliseksi -- jopa mahdottomaksi -- probleema menee, jos ensin on esim. valittava "puheenjohtaja", henkilö a.

tiistai 6. joulukuuta 2016

Itsestäänselvyys ja intuitiivinen ymmärtäminen

Itsestäänselvyys ja intuitiivinen ymmärtäminen

-- miten nämä eroavat?


(Harjoitustehtävänä on keksiä vastaus otsikon kysymykseen tämän kirjoituksen perusteella)

Matematiikassa on kosolti (näennäisen) yksinkertaisia, so. intuitiivisesti itsestäänselviä lauseita. Toki on myös lauseita, joiden itsestäänselvyys -- mitä se sitten tarkoittaakin -- on vähemmän jos ollenkaan itsestäänselvää. Jopa todistuksen luettuaan sekä sen uskoakseen ymmärrettyään, ei välttämättä aina voi olla varma lauseen paikkaansapitävyydestä, mikä tietenkään ei (välttämättä) tarkoita, että lauseessa olisi mitään vikaa (tai todistuksessa).

Lopulta usein "itsestäänselvyys" voi olla matematiikan opiskelijalle yksi suurimmista ongelmista; esimerkiksi ei pidä väheksyä "itsestäänselviltä" vaikuttavien asioiden merkitystä. Lopulta nämä eivät välttämättä -- jos ollenkaan -- ole niin "itsestäänselviä", kuin miltä aluksi saattavat vaikuttaa.

Jos ajatellaan reaalilukujen joukossa vaikkapa kommutatiivisuutta, a * b = b * a, ja opiskelija erehtyy väheksymään sitä, suorastaan ehkä jopa halveksumaan, että tällaista "itsestäänselvää" asiaa hänelle opetetaan, saattaa hän huomata pidemmälle edetessään, että "itsestäänselvä" asia ei ollutkaan ollenkaan "itsestäänselvä" ja palaa ehkä uudelleen ihastelemaan aiemmin ehkä jopa halveksuumaansa "itsestäänselvää" asiaa. Näin "kakarasta" on kehittynyt enemmän taiteilija.

Jos "itsestäänselvä" asia ei suorastaan ole valittu aksioomaksi tai ole määritelmä, vaan on jopa lause (teoreema), tämän keksiminen ei välttämättä ole ollut ollenkaan helppoa ns. "tyhjästä" edelleen huomioiden olemassaolevan teorian määrän ja sen, missä määrin keksijällä on ollut mahdollisuus perehtyä siihen.

Joka tapauksessa "itsestäänselvät" lauseetkin on todistettava; matematiikassa totuus ei määräydy sen mukaan, miltä tuntuu, mitä haluaa, mitä asioiden omasta mielestä pitäisi olla, mitä kokouksessa päätetään (*), mikä on äänestyksen tulos, mitä naapurissa sanottiin tai miltä näyttää...

Totta puhuen, juuri tämä matematiikan totuuden ehdottomuus järjen kautta on yksi itseäni eniten matematiikassa kiehtova seikka.

Otettakoon seuraavaksi esimerkki "itsestäänselvästä" lauseesta, joka tunnetaan Weierstrassin lauseena.

Koska tämä blogi on nimetty arkiseksi, ilmaisen lauseen ei-formaalisti: Jatkuva reaaliarvoinen funktio f saa suljetulla välillä [a,b] suurimman ja pienimmän arvonsa.

Intuitiivisesti väite (lause) on "itsestäänselvä". Jos mikä hyvänsä reaaliarvoinen funktio f on jatkuva suljetulla välillä, niin väistämättä arvonsa on jossain välissä "suljettua jatkumoa" suurin ja toisaalta pienin. Vakiofunktion tapauksessa "suurin" ja "pienin" arvo olisivat samat.


Lause ei ota kantaa, mikä on suurin tai pienin arvo, se vain väittää, että nämä saavutetaan annettujen ehtojen vallitessa.

Jos haetaan intuitiivista ymmärrystä reaalimailmasta, niin otetaanpa esimerkkinä tie, jossa jollain välillä on ainakin yksi suuri mäki ja oletetaan, että autoilija ajaa autollaan ajan ja paikan suhteen jatkuvasti tämän välin. Tällöin on itsestäänselvää, että autoilija joskus on tien korkeimmalla kohdalla ja joskus tien matalimmalla kohdalla kyseisellä välillä autoillessaan (oletetaan, että autoilijan vauhti ei ole niin kova, että auto "hyppää" mäen päällä, vaan pysyy tiellä koko ajan). Näin autoilija on kokenut Weierstrassin lauseen väittämän sovellettuna.

Image courtesy of watiporn at FreeDigitalPhotos.net

Yllä olevassa kuvassa on kaksi pyöräilijää, mutta aivan kuten Weierstrassin lauseessakaan ei ole yhtään autoilijaa, ei kuvassakaan sellaisia näy. Pointti on idea-abstraktion hahmottamisessa.

(*) Wikipedian mukaan FT Uuno Saarnio uskoi todistaneensa Georg Cantorin kontinuumihypoteesin, mutta matemaatikkopiireissä todistustaan ei ole hyväksytty todistuksen perustuessa naiiviin joukko-oppiin. On tietenkin tehtävä ero matemaatikkopiirien ja matematiikan välillä. En nyt kuitenkaan väitä juuta tai jaata mainitusta todistuksesta, koska en ole sitä nähnyt -- jos siitä mitään ymmärtäisinkään, vaikka näkisin.